高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示同步练习题

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设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，有
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴ 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵ a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
= 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶ |a|＝eq \r(a·a)＝；
= 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷ cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝.
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
【题型目录】
题型一、空间向量的坐标运算
题型二、向量的坐标表示的应用
命题点1 空间平行垂直问题
命题角度2 夹角、距离问题
题型一、空间向量的坐标运算
1．（多选）已知，，下列计算结果正确的是（ ）
A． B．C．D．
2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．
3．已知空间向量 ，, ．
(1)若，求；
(2)若 ，求 的值．
题型二、向量的坐标表示的应用
命题点1 空间平行垂直问题
4．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D．
5．如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．
(1)证明：；
(2)若，求该圆柱的体积．
6．如图，在棱长为的正方体中，以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，过点作于点，求点的坐标.
命题角度2 夹角、距离问题
7．已知直线l经过点，且平行于x轴，求直线l上满足的点P的坐标．
8．已知空间三点，，．设，．
(1)求，；
(2)求与的夹角；
(3)若向量与互相垂直，求实数k的值．
9．如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．
1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
2．若向量与的夹角为120°，那么等于( )
A．-1B．C．-1或D．不存在
3．已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
4．与向量共线的单位向量是__________________________________．
5．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
7．已知空间三点，，
(1)求向量与的夹角的余弦值，
(2)若向量与向量垂直，求实数k的值．
8．已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
9．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，.
(1)求；
(2)求；
(3)判断四边形AEFG的形状.
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标应为( )
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知，，则满足概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选）已知在轴上的点到过原点且方向向量为的直线的距离为，那么点的坐标可以为（ ）
A．（，0，0）B．（2，0，0）
C．（，0，0）D．（2，0，0）
9．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝eq \r(110)，则m的值为________．
10．已知空间向量，且，则n＝_______，向量与的夹角为_______．
11．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
12．已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
13．已知向量，，，，，求：
(1)，；(2)，；(3)；(4)cs．
14．已知点，设
(1)若，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
15．已知，，，，为与的夹角，求cs的值．
16．在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别是，上的点，且.
求证：（1）平面平面；
（2），.
17．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
减法
a－b
a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
数乘
λa
λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2