高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用习题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案14空间向量的应用解析版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案14空间向量的应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
4.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
5.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
6.会用向量法求线线、线面、面面夹角.
7.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
知识解读
知识点一 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的 ．
【答案】基点 位置向量
知识点二 空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，①
把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))，②
①式和②式都称为 ．
【答案】空间直线的向量表示式
知识点三 空间中平面的向量表示式
1．平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝ .③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
如图，若直线 ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的 ；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
【答案】eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)) l⊥α 法向量
知识点四 线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得 .
【答案】u1＝λu2
知识点五 线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔ .
【答案】u·n＝0
知识点六 面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得 .
【答案】n1＝λn2
知识点七 线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ .
【答案】u1·u2＝0
知识点八 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 .
【答案】u＝λn
知识点九 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔ .
【答案】n1·n2＝0
知识点十 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则eq \(AQ,\s\up6(→))=（a·u）u，则点P到直线l的距离为(如图)．
知识点十一 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)．
【答案】eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)
知识点十二 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面α与平面β的 ．
【答案】90° 夹角
知识点十三 空间角的向量法解法
【答案】eq \f(|u·v|,|u||v|) eq \f(|u·n|,|u||n|) eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
跟踪训练
一、单选题
1．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．B．C．D．或
3．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．直线l的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为假命题的是（ ）．
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线l与平面所成角的大小为
D．若，则平面、所成锐角的大小为
6．在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（ ）
①直线；②平面；③平面ADM.
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C．与夹角的余弦值是
D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．平面与平面所成锐二面角为，则
C．直线与所成的角可能是
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
12．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
三、填空题
13．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.
14．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.
15．正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为_________.
16．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列所有正确结论的序号是_______．
①直线与AC所成的角可能是；②平面平面；
③三棱锥的体积为定值；④平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形．
四、解答题
17．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.
(1)求证：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值
(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，底面，E､分别为棱的中点
(1)作出平面与平面BFE的交线，并说明理由.
(2)求一面角的余弦值.
20．莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．
(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；
(2)在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝

eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))