高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示精练

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知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
【即学即练1】设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
【即学即练2】画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．
【即学即练3】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
【即学即练4】已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
【即学即练5】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))的坐标．
知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．
2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)成立的条件是x2y2z2≠0.
3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))＝
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
【即学即练6】已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.
【即学即练7】已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
【即学即练8】若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【即学即练9】已知，，且，则的值为（ ）.
A．B．2C．D．
【即学即练10】已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2B．2
C．3D．－3
【即学即练11】已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．4eq \r(2)D．3eq \r(2)
【即学即练12】在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【即学即练13】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长．
(2)求△BMN的面积．
考点一 空间向量的坐标表示
解题方略：
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq \(AB,\s\up7(―→))的坐标等于终点坐标减起点坐标．即eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例1-1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝3i，eq \(AD,\s\up7(―→))＝2j，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝5k，则向量eq \(AC1,\s\up7(―→))在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(1,5)))
C．(3,2,5)D．(3,2，－5)
变式1：在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出E，F，G，H的坐标；
(2)写出向量eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(GH,\s\up7(―→))的坐标．
【例1-2】点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为______，点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
【例1-3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________.
【例1-4】已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标应为( )
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
变式1：已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24)
C．(－6,8,24)D．(－5,6,24)
变式2：已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
变式3：已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1)eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))；
(2)eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))．
【例1-5】已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（ ）
A．B．C．D．
考点二 空间向量的平行与垂直
解题方略：
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
【例2-1】已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝eq \f(1,3)，y＝1B．x＝eq \f(1,2)，y＝－4
C．x＝2，y＝－eq \f(1,4)D．x＝1，y＝－1
【例2-2】已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
变式1：已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
①设向量c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1，1))，试判断2a－b与c是否平行？
②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【例2-3】正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq \(B1P,\s\up7(―→))＝eq \(PD1,\s\up7(―→))，若PQ⊥AE，eq \(BD,\s\up7(―→))＝λeq \(DQ,\s\up7(―→))，求λ的值．
【例2-4】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EF.
【例2-5】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝eq \r(2)，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
考点三 利用坐标运算解决夹角、距离问题
解题方略：
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
（一）夹角问题
【例3-1】已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60°D．90°
变式1：已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，则cs〈a，b〉＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,6) C.eq \f(\r(6),3)D.eq \f(\r(6),6)
【例3-2】若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
（二）距离（模长）问题
【例3-3】已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
变式1：如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，eq \(FM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(MA,\s\up7(―→))，则线段OM的长为( )
A．3eq \r(2)B.eq \r(19)
C．2eq \r(5)D.eq \r(21)
变式2：已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．B．
C．4D．8
【例3-4】设，向量且，则（ ）
A．B．C．3D．4
变式1：已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3eq \r(10) B．2eq \r(10) C.eq \r(10) D．5
【例3-5】已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
变式1：已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的|eq \(AB,\s\up6(→))|.
（三）综合应用
【例3-6】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求FH的长；
(3)求EF与C1G所成角的余弦值．
题组A 基础过关练
1、在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面Oxy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
2、已知点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__________．
3、已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则点P的坐标是________．
4、【多选】若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则( )
A．cs〈a，b〉＝－eq \f(2,5)B．a⊥b
C．a∥bD．|a|＝|b|
5、已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足eq \(M1M2,\s\up7(――→))＝4eq \(MM2,\s\up7(――→))，则向量eq \(OM,\s\up7(―→))的坐标为________．
6、已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
7、已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(3,5)
8、已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
9、已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
题组B 能力提升练
10、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，则AE＝________.
11、已知棱长为a的正四面体ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O为A在底面上的射影，M，N分别为线段AB，AD的中点，则M的坐标是________，CN与DM所成角的余弦值为________．
12、在△ABC中，A(2，－5,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)．
①求顶点B，C的坐标；
②求eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；
③若点P在AC上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))，求点P的坐标．
13、已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
14、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝eq \f(1,3)B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值．
题组C 培优拔尖练
15、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
16、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
课程标准
课标解读
理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3