选择性必修 第一册空间向量基本定理同步训练题

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知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
例1．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】如图，作平行六面体，，，，则，，，，由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．
例3．已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；故选：C
题型二：基底的运用
例5．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
【答案】B
【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则故选：B
例6．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】由已知，
所以，，故选：D.
例7．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，故选：A
例8．在四棱柱中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可
【详解】因为，所以，
所以，所以A错误
因为，所以，
所以,故选：D
【方法技巧与总结】
1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
题型三：正交分解
例9．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
【答案】
【分析】设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可
【详解】由题意，不妨设由空间向量分解的唯一性：
故，解得
则故答案为：
例10．若是一个单位正交基底，且向量，，______．
【答案】
【分析】由条件可得，，利用向量的数量积的运算性质可得答案.
【详解】由是一个单位正交基底，则，
故答案为：
例11．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据空间向量的基本定理：设坐标，分别以、为基底表示，即可得方程组求参数，进而确定坐标.
【详解】由题意知：，若在基底的坐标为，
∴，
∴，可得，∴在基底的坐标为.故答案为：
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例13．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接套用向量的内积公式即可；
（2）选取作为一组基底，用基底表示，
=代入求解即可得出答案.
(1)==.
(2)选取作为一组基底，则，
则=
=
=
===.
例14．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，因此，，所以OG⊥BC.
例15．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由所以即证.
（2）由，又所以，
又则又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
例16．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．
(1)用，，表示并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
【答案】(1)，BM的长为．(2)2
【分析】(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；
(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.
(1)
又，，，
故BM的长为．
(2)由（1）知，，∴，
所以，则为点A到直线BM的距离，又，故点A到直线BM的距离为2．
【方法技巧与总结】
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
【同步练习】
一、单选题
1．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】若，，，四点共面，则，则故选：D．
2．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】，，故选：B
3．在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，所以
所以即
故选：B
4．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.
【详解】 ,故选;A
5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法法则判断．
【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．
；；
；．故选：D．
6．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．
7．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用表示出,从而得出,即可得出.
【详解】连结ON.
因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，，
所以.又，所以.
.故选：C
8．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
【详解】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，所以，所以P是的重心，
所以，即，所以，
整理得．故选：C
二、多选题
9．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
【答案】BD
【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，，
，则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.故选：BD
10．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】CD
【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：
，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
11．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题中，真命题有（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
【答案】BC
【分析】理解仿射向量的概念，利用空间向量共线定理及数量积运算即可﹒
【详解】
．因为，且，所以，故A错误．
如图所示：
设，，则点A在xOy平面内，点B在z轴上，由图易知当时，最小，即向量，的夹角取得最小值，故B正确．根据“仿射”坐标的定义，可得
，故C正确．由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，
其表面积，故D错误．故选：BC
三、填空题
12.正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.
【答案】
【分析】根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.
【详解】
，
，，，.故答案为：.
13．四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
【答案】
【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.故答案为：
14．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
【答案】
【分析】把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.
【详解】解：由题意三棱柱中，､分别是B､上的点，且，，
则，
，.故答案为：.
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
【详解】因为在平行六面体中，点在线段上，且，
所以.
16.如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
(1)设试用表示向量；
(2)求的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将，代入中化简即可得出答案.
（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.
(1)∵M是PC的中点，∴.
∵，∴，
结合，，，
得.
(2)∵，∴，∵，
∴，，
∴.
∴，即BM的长等于.
17．平行六面体中，，，．
(1)用，，表示向量；
(2)设G，H分别是侧面和对角线的交点，用，，表示．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由空间向量基本定理求解；（2）由空间向量基本定理求解．
(1)由向量的线性运算得：；
(2)
18.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
【答案】(1)(2)①②③
【分析】（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以.
(2)选①，因为，，
所以
，所以；
选②，因为，，
所以
，所以；
③，因为，，
所以
，所以.
19.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
(1)，
因为，同理可得，
所以
(2)因为，所以，
因为，
所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．