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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案，共13页。学案主要包含了空间向量的夹角，空间向量的数量积运算，利用空间向量数量积的性质求模长等内容，欢迎下载使用。
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
知识梳理
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分别与向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))的夹角．
解 连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积运算
知识梳理
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
2.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)×1×1·cs 60°＝eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 0°＝eq \f(1,2)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 120°＝－eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)[eq \(BD,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BA,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)[－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
三、利用空间向量数量积的性质求模长
问题 类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质．
提示 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；
(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2)；
(3)若a，b为非零向量，则cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．
例3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 ∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，且eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝68，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(17)，故CD的长为2eq \r(17).
反思感悟 用数量积求两点间距离的步骤
(1)将两点间的连线用向量表示；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.
跟踪训练3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B.eq \r(6) C．3 D.eq \r(3)
答案 B
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
由eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
得|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6).
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影．
(2)空间向量数量积、性质及运算律．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
C.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(—→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AD1,\s\up6(→))
答案 AD
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.
答案 1
解析 |a－b|2＝(a－b)2
＝a2＋b2－2a·b＝1.
∴|a－b|＝1.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________，eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，
则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成的角，连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°，
因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，
则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(—→))，eq \(A1P,\s\up6(—→))〉＝1，
从而〈eq \(B1C,\s\up6(—→))，eq \(A1P,\s\up6(—→))〉＝60°.
课时对点练
1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(EF,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由题意，可得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
所以〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq \f(1,2)，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
C．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
D．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
答案 BC
解析 2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs 120°＝－a2，
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝2a2cs 60°＝a2，
2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝a2，
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a2.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(2)－1
C.eq \r(3－\r(2)) D.eq \r(3)－eq \r(2)
答案 C
解析 如图，因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(AA1,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1－2×1×cs 45°－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°＝3－eq \r(2)，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝0
C.eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为60°
D．正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 如图所示，(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(D1C1,\s\up6(—→)))2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝eq \(A1C,\s\up6(—→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角是eq \(D1C,\s\up6(—→))与eq \(D1A,\s\up6(—→))夹角的补角，而eq \(D1C,\s\up6(—→))与eq \(D1A,\s\up6(—→))的夹角为60°，故eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))|
|eq \(AA1,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．
7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，
所以〈a，b〉＝60°.
9．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))；
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→)).
解 如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))
＝b·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \(BA1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→))＝(eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(FD1,\s\up6(→))＋eq \(D1C1,\s\up6(—→)))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))
＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))
＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2.
10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
解 eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))]＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝2.
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，即E，F间的距离为eq \r(2).
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2).
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.
答案 7
解析 |eq \(PC,\s\up6(→))|2＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝49，
所以|eq \(PC,\s\up6(→))|＝7.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝________.
答案 eq \f(14,3)
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
且eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),3)，
故eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))2＝eq \f(1,3)(|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋|eq \(OC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq \f(14,3).
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是______．
答案 [0,1]
解析 依题意，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BD1,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD1,\s\up6(→))＝1＋λ×1×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝1－λ∈[0,1]．因此eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0,1]．
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))，
∵AB⊥平面BP2P8P6，
∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉，
∴当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝2，
此时B，D两点间的距离为eq \r(2).定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
知识梳理
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分别与向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))的夹角．
解 连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积运算
知识梳理
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
2.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)×1×1·cs 60°＝eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 0°＝eq \f(1,2)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 120°＝－eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)[eq \(BD,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BA,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)[－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
三、利用空间向量数量积的性质求模长
问题 类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质．
提示 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；
(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2)；
(3)若a，b为非零向量，则cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．
例3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 ∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，且eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝68，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(17)，故CD的长为2eq \r(17).
反思感悟 用数量积求两点间距离的步骤
(1)将两点间的连线用向量表示；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.
跟踪训练3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B.eq \r(6) C．3 D.eq \r(3)
答案 B
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
由eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
得|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6).
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影．
(2)空间向量数量积、性质及运算律．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
C.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(—→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AD1,\s\up6(→))
答案 AD
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.
答案 1
解析 |a－b|2＝(a－b)2
＝a2＋b2－2a·b＝1.
∴|a－b|＝1.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________，eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，
则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成的角，连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°，
因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，
则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(—→))，eq \(A1P,\s\up6(—→))〉＝1，
从而〈eq \(B1C,\s\up6(—→))，eq \(A1P,\s\up6(—→))〉＝60°.
课时对点练
1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(EF,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由题意，可得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
所以〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq \f(1,2)，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
C．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
D．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
答案 BC
解析 2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs 120°＝－a2，
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝2a2cs 60°＝a2，
2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝a2，
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a2.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(2)－1
C.eq \r(3－\r(2)) D.eq \r(3)－eq \r(2)
答案 C
解析 如图，因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(AA1,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1－2×1×cs 45°－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°＝3－eq \r(2)，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝0
C.eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为60°
D．正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 如图所示，(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(D1C1,\s\up6(—→)))2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝eq \(A1C,\s\up6(—→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角是eq \(D1C,\s\up6(—→))与eq \(D1A,\s\up6(—→))夹角的补角，而eq \(D1C,\s\up6(—→))与eq \(D1A,\s\up6(—→))的夹角为60°，故eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))|
|eq \(AA1,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．
7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，
所以〈a，b〉＝60°.
9．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))；
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→)).
解 如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))
＝b·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \(BA1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→))＝(eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(FD1,\s\up6(→))＋eq \(D1C1,\s\up6(—→)))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))
＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))
＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2.
10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
解 eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))]＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝2.
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，即E，F间的距离为eq \r(2).
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2).
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.
答案 7
解析 |eq \(PC,\s\up6(→))|2＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝49，
所以|eq \(PC,\s\up6(→))|＝7.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝________.
答案 eq \f(14,3)
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
且eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),3)，
故eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))2＝eq \f(1,3)(|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋|eq \(OC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq \f(14,3).
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是______．
答案 [0,1]
解析 依题意，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BD1,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD1,\s\up6(→))＝1＋λ×1×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝1－λ∈[0,1]．因此eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0,1]．
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))，
∵AB⊥平面BP2P8P6，
∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉，
∴当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝2，
此时B，D两点间的距离为eq \r(2).定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
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