高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算优质教学设计

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1.1.2空间向量的数量积运算 导学案
一、学习目标
1．能类比平面向量的数量积的定义，给出空间向量的夹角概念与数量积的定义，会计算两个向量的数量积，发展学生的数学抽象，数学运算核心素养；
2．通过类比平面向量数量积的几何意义，得到空间向量数量积的几何意义，能将空间向量投影转化为平面向量投影，并画出投影向量，发展学生的数学抽象素养；
3．能将平面向量数量积的匀运算律推广到空间向量，并体会与实数运算律的联系与区别，能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题.
二、重点难点
重点：空间向量数量积的概念及几何意义，运算律.
难点：空间向量的投影
三、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
一、问题引入，提出概念
G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.如果想解决这些问题，必须要有强大的数学工具!
问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题?
问题2:在必修中我们已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法以及数乘运算，那么空间向量中，什么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题?
追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的?
环节二：回顾旧知，学习新知
问题3：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，你能类比平面向量数量积的运算，得出空间向量的数量积相关知识？请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格.
问题4：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影
追问1：如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？你能用向量,向量表示出投影向量吗？
追问2：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗?
追问3：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.
问题5：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？
追问：你能证明这些运算律吗？
问题6：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？
追问1：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？
追问2：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例．
环节三：根据新知，简单应用
例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）；
（2）的长（精确到0.1）．
例3. 如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，.
求证：．
思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：空间向量数量积的运算
1．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）．
2.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）．
题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素
（一）利用数量积求解角度问题.
2．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）
（二）利用数量积求解距离问题.
3.如图，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）； （2）的长； （3）的长．
4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．
题型三：利用数量积运算及其运算律证明几何关系问题.
4. （1）如图，正方体
（1）求和的夹角；
（2）求证．
（2）如图，空间四边形中，.求证：.
环节五：凝练升华，课堂小结
课堂小结
空间向量的夹角
两向量的夹角是唯一确定的
夹角范围
特殊夹角及对应两向量的位置关系
空间向量的数量积的定义与几何意义
空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。
空间向量数量积的运算律。
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第10页习题第8、10题
拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法.
巩固作业答案：
8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）．
10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
平面
空间（学生填空）
夹角
对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.
特例:当时,则.
数量积
两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 .
特例:.
图1.1-11(1)
图1.1-11(2)
图1.1-11(3)
图1.1-12
第1题图
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°