数学选择性必修 第一册空间向量基本定理练习题

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【自主学习】
一．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ ．
我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量．
二．空间向量的正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2.向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk．像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
思考1：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？
思考2：基底中能否有零向量？
解读：1.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
2.基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )
(4)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．( )
(5)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )
2.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【经典例题】
题型一 基底的判断
点拨：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
【跟踪训练】1 若向量 eq \(MA,\s\up6(→)) ， eq \(MB,\s\up6(→)) ， eq \(MC,\s\up6(→)) 的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量 eq \(MA,\s\up6(→)) ， eq \(MB,\s\up6(→)) ， eq \(MC,\s\up6(→)) 成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M，A，B，C的一点)( )
A． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→)) B． eq \(MA,\s\up6(→)) ＝ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→))
C． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) D． eq \(MA,\s\up6(→)) ＝2 eq \(MB,\s\up6(→)) － eq \(MC,\s\up6(→))
题型二 用基底表示向量
点拨：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(-→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(-→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(-→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
【跟踪训练】2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量eq \(OG,\s\up6(→))和eq \(GH,\s\up6(→)).
题型三 空间向量基本定理的应用
点拨：首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．
(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0．
(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．
(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1．
【跟踪训练】3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值．
【当堂达标】
以下四个命题中正确的是( )
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．空间向量的基底只能有一组
(多选)已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b能构成空间基底的向量是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→)) C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，用 eq \(AC,\s\up6(→)) ，，作为基向量，则＝________．
4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,3)CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
1.2 空间向量基本定理
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
2.长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3i，eq \(AD,\s\up6(→))＝2j，eq \(AA1,\s\up6(→))＝5k，则eq \(AC1,\s\up6(→))( )
A．i＋j＋k B.eq \f(1,3)i＋eq \f(1,2)j＋eq \f(1,5)k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
3.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 ( )
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
5.(多选)下列说法正确的是( )
A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
6.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=( )
A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c
C.16a+13b+13c D.13a+16b+16c
7.如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
8.若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→)) ，eq \(OC,\s\up6(→))不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．
其中正确的命题是( )
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
10. (多选)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
11. (多选)如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．D．
12.化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为 .
13.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
14.在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝c，用a，b，c表示向量 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EFG∥平面ABD.

课程标准
学科素养
1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，
2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）
1、数学运算
2、数学抽象