人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算习题

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【自主学习】
一．空间向量的概念及几类特殊向量
解读：(1)单位向量方向不确定；
(2)零向量方向任意，与任何向量都平行；
(3)向量不能比较大小，但是向量的模可以比较大小；关于两个向量的比较，我们仅研究是否相等。
二．空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为 .
三．空间向量的线性运算
思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？
四．共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.
五．方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的 成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。
六．共面向量
定义：平行于________________的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
2.对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)eq \(MP,\s\up7(→))＝xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))(或eq \(PA,\s\up7(→))∥eq \(MB,\s\up7(→))，或eq \(PB,\s\up7(→))∥eq \(AM,\s\up7(→))).
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)平面内所有的单位向量是相等的．( )
(3)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( )
(4)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )
(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) 是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．( )
2.已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(AD,\s\up7(→))＝c，则eq \(CD,\s\up7(→))等于( )
A.a＋b－c B.－a－b＋c
C.－a＋b＋cD.－a＋b－c
【经典例题】
题型一 空间向量概念
点拨：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟踪训练】1 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
题型二 空间向量的线性运算
点拨：运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；
(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；
(3)平行四边形法则：“起点重合”；
(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
例2 在如图所示的平行六面体中，求证：eq \(AC,\s\up6(→))＋＋＝2.
【跟踪训练】2 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1)eq \(BD′,\s\up7(→))＝xeq \(AD,\s\up7(→))＋yeq \(AB,\s\up7(→))＋zeq \(AA′,\s\up7(→))；
(2)eq \(AE,\s\up7(→))＝xeq \(AD,\s\up7(→))＋yeq \(AB,\s\up7(→))＋zeq \(AA′,\s\up7(→)).
题型三 向量的共线及判定
例3 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up7(→))＝2eq \(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up7(→))，求证：E，F，B三点共线.
点拨：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：
(1)eq \(EB,\s\up6(→))＝meq \(EF,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋λeq \(EF,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＝neq \(AE,\s\up6(→))＋(1－n)eq \(AF,\s\up6(→)).
【跟踪训练】3在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋是否共线．
题型四 向量共面
例4如图,四边形ABCD,四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN,CD,DE共面.

点拨：DE和DC不共线，要证明MN,CD,DE共面，只要证明存在唯一的有序实数对(x,y),使MN=xDE+yDC即可。
【跟踪训练】4已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
【当堂达标】
1.(多选)下列说法：其中错误的是( )
A.若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
B.若向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))满足|eq \(AB,\s\up7(→))|＞|eq \(CD,\s\up7(→))|，且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向，则eq \(AB,\s\up7(→))＞eq \(CD,\s\up7(→))；
C.若两个非零向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))满足eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝0，则eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))为相反向量；
D.eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3
3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，则( )
A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1 C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)
4.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？②试写出模为eq \r(5)的所有向量．
③试写出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．
5.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \(OG,\s\up7(→)).
6.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→)).
(1)判断eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【课堂小结】
一．概念：
1.空间向量的概念及特殊空间向量；2.空间向量的表示；
3.空间向量的加、减法运算、数乘运算；4.共线向量；
5.方向向量；6.共面向量。
二．证明：
1.三点共线；
2.四点共面。
1.1.1 空间向量及其线性运算
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.判断下列各命题的真假：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))化简后的结果是( )
A.eq \(BD1,\s\up6(→)) B.eq \(D1B,\s\up6(→)) C.eq \(B1D,\s\up6(→)) D.eq \(DB1,\s\up6(→))
3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是( )
A.AD与CB B.OA与OC
C.AC与DB D.DO与OB
4.已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
5.(多选)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．eq \(AB,\s\up8(→))＋2eq \(BC,\s\up8(→))＋2eq \(CD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)) B．2eq \(AB,\s\up8(→))＋2eq \(BC,\s\up8(→))＋3eq \(CD,\s\up8(→))＋3eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))
C.eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(BD,\s\up8(→)) D.eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B= .(用a,b,c表示)
7.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若eq \(OA,\s\up8(→))＝2eq \(OB,\s\up8(→))＋μeq \(OC,\s\up8(→))，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up8(→))＋meq \(OB,\s\up8(→))＋neq \(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．如何用eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AD,\s\up6(→))、eq \(AA1,\s\up6(→))表示向量eq \(MN,\s\up6(→))？
能 力 练
综合应用 核心素养
9.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
10.已知非零向量e1，e2不共线，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点( )
A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．一定不共面
11.在平行六面体ABCD－EFGH中，若eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))－2yeq \(BC,\s\up6(→))＋3zeq \(DH,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于( )
A.eq \f(7,6) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,6)
12.(多选)有下列命题，其中真命题的有( )
A．若eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(CD,\s\up8(→))，则A，B，C，D四点共线
B．若eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(AC,\s\up8(→))，则A，B，C三点共线
C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝－e1＋eq \f(1,10)e2，则a∥b
D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0
13.(多选)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是( )
A.OP=OA+OB+OC
B.OP=13OA+13OB+13OC
C.OP=-PA+12OB+12OC
D.PA=2PB+PC
14.在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足AP=xAB+yAC,AQ=sAB+tAC+uAD,若xy=st,则下面表述中,线段AQ与DP的关系是( )
A.AQ与DP所在直线是异面直线
B.AQ与DP所在直线平行
C.线段AQ与DP必相交
D.线段AQ与DP延长后相交
15.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq \(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(B1C,\s\up6(→))－eq \(B1B,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1B,\s\up6(→)).
17.如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
课程标准
学科素养
1.理解空间向量的概念.(难点)
2.掌握空间向量的线性运算.(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)
1、逻辑推理
2、数学运算
名称
定义
空间向量
在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_
_____
单位向量
长度或模为______的向量
零向量
______的向量
相等向量
方向______且模______的向量
相反向量
______相反且______相等的向量
空间向量的线性运算
加法
三角形法则:a＋b＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝
平行四边形法则:a＋b＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝
减法
a－b＝ eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
运算
当λ>0时，λa（λa的长度为a的|λ|a倍）＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \(PQ,\s\up6(→)) （与a同向）
当λ