人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算优质学案

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类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，、；
类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，
类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.
理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.
重点难点
重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。
难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。
课前预习 自主梳理
要点一 空间向量的有关概念
1.空间向量的定义
在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量.
2.空间向量的表示
空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 来表示.
3.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.
eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝ ；
eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝ ；
eq \(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R).
(2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
运算律(其中λ，μ∈R)
(1)交换律：a＋b＝ ；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝ ，λ(μa)＝ ；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ．
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.
要点二 特殊的空间向量
要点三 共线向量及共线向量定理
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 ．
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝ ，我们把与向量a 的非零向量称为直线l的 .
思考：由数乘λa＝0，能否得出λ＝0?
3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l.
4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平面α.
5．共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量．
6．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 ．
思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？
提示 共面．当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)零向量没有方向. ( )
(2)两个有公共终点的向量, 一定是共线向量. ( )
(3)空间向量的数乘运算中,只决定向量的大小, 不决定向量的方向. ( )
(4) 若, 则. ( )
(5)若两个向量的起点重合, 则这两个向量的方向相同. ( )
2.已知空间四边形, 连接, 则( )
A.B.C.D. 0
3.下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
新课导学
学习探究
（一）新知导入
环节一 创设情境引入课题
引导语 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景．
可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，你能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
问题1 能否类比平面向量，给空间向量下个定义？
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevectr)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(mdulus)．
问题2 可以表示平面向量,也可以表示空间向量吗?平面向量与空间向量有哪些异同点?它们模长的几何意义相同吗?
环节二 观察分析 感知概念
阅读课本填写以下概念的内容
零向量及其记法：
单位向量：
相反向量及其记法：
共线向量（平行向量）：
我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectrs)．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
环节三 抽象概括 形成概念
问题3 类比平面向量的线性运算，空间向量的加法、减法如何定义？
如图1.1-3，已知空间向量，，以任意点为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内．
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．
环节四 辨析理解 深化概念
问题4想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)：
交换律：
结合律：
分配律：
探究1如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?
可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
探究2对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，?
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使．
如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directinvectr)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(cplanarvectrs)．
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的．
问题6，什么情况下三个空间向量共面呢？
探究3 对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成，其中是唯一确定的有序实数对．
对两个不共线的空间向量，，如果，那么向量与向量，有什么位置关系？
反过来，向量与向量，有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
环节五 概念应用 巩固内化
例1如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．
环节六 归纳总结 反思提升
本节课的学习我们知道向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.由于空间向量是平面 向量的推广，因此空间向量及其相关概念、空间向量的表示法等与平面向量都是一致的.
类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间 向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量 的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题
理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.
环节七目标检测，作业布置
作业布置：教科书P5练习—1.2.3
备用练习1. 下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
备用练习2.已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（ ）
B．C．D．
名称
定义及表示
零向量
规定 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量
方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量