高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算随堂练习题，共7页。试卷主要包含了下列说法正确的是，化简，下列命题中,正确的是等内容，欢迎下载使用。
A.向量AB与BA的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,AB与CD是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,与向量AD相等的向量共有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
3.化简:(a+2b-3c)+3×23a−12b+23c-(a-2b+c)=( )
A.2a+32b-2cB.2a+52b-2c
C.2a-52b-2cD.2a-32b-2c
4.下列命题中,正确的是( )
A.若a≠b,则|a|≠|b|B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则|a|=|b|D.若|a|=|b|,则a=b
5.在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,若AC=a,AB=b,AA1=c,则BC1=( )
A.-a+b-cB.a-b+c
C.a-b-cD.a+b-c
6.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则AD+12(DB+DC)=( )
A.ABB.AC
C.AED.DE
7.(多选)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则( )
A.BC-A1A=AD1
B.BC-A1A=2AD1
C.EF=12A1C1
D.EF=A1C1
8.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是平行四边形,CE=2EP,则以下结论正确的是( )
A.DE=13AC+23AP+AD
B.DE=-13AC+23AP-AD
C.DE=13AC-23AP+AD
D.DE=13AC+23AP-AD
9.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是( )
A.OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量
B.OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量
C.OA1-OA与OC-OC1是一对相等向量
D.12(OA+OB+OC+OD)与12(OA1+OB1+OC1+OD1)是一对相反向量
10.(多选)如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,
设AB=a,AD=b,AA1=c,则下列选项正确的为( )
A.AP=12(a+b+c)B.AP=12(a+2b+c)
C.AQ=12a+b+cD.AQ=15a+15b+45c
11.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,BC-DC+AB= .
12.(5分)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为910,则HE+FB+19DC= .
13.(5分)在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且EH=13EF,
记OH=xOA+yOB+zOC,则x,y,z的值分别为 .
14.(10分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出:
(1)AB的相等向量,A1B的相反向量;(3分)
(2)用另外两个向量的和或差表示BB1;(3分)
(3)用三个或三个以上向量的和表示BE.(4分)
15.(10分)在平面四边形ABCD中,E,F分AB,DC所成的比为λ,即AEEB=DFFC=λ,则有EF=11+λAD+λ1+λBC.
(1)拓展到空间,写出空间四边形ABCD类似的命题,并加以证明;(6分)
(2)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点,利用上述(1)的结论表示EF.(4分)
配套检测卷答案
课时检测(一)
1．选AD 向量eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(BA,\s\up6(―→))是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(CD,\s\up6(―→))的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确．
2．选C 如图，与向量eq \(AD,\s\up6(―→))大小相等，方向相同的向量有eq \(A1D1,\s\up6(―→))，eq \(B1C1,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))，共3个．
3．选B 原式＝a＋3×eq \f(2,3)a－a＋2b－3×eq \f(1,2)b＋2b－3c＋3×eq \f(2,3)c－c＝2a＋eq \f(5,2)b－2c.
4．选C 若a与b为相反向量，则a≠b，但|a|＝|b|，故A、D错误；向量的模可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，故B错误；向量相等，则其模相等，方向相同，故C正确．
5．选B 由题意，得eq \(BC1,\s\up6(―→))＝eq \(CC1,\s\up6(―→))－eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(CC1,\s\up6(―→))－(eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))＝a－b＋c，故选B.
6．选C 如图，因为E为棱BC的中点，所以eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)×2eq \(DE,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DE,\s\up6(―→))＝eq \(AE,\s\up6(―→)).
7．选AC eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(A1A,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \(AD1,\s\up6(―→))，A正确，B不正确.eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(―→))，C正确，D不正确．
8．选D 因为eq \(CE,\s\up6(―→))＝2eq \(EP,\s\up6(―→))，所以eq \(CE,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(CP,\s\up6(―→))，eq \(DE,\s\up6(―→))＝eq \(AE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(CP,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(AP,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→)).
9．选AD 对于A，取AD，B1C1的中点M，N(图略)，则eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→))＝2eq \(OM,\s\up6(―→))，eq \(OB1,\s\up6(―→))＋eq \(OC1,\s\up6(―→))＝2eq \(ON,\s\up6(―→))，两者是一对相反向量；对于B，eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))，eq \(OA1,\s\up6(―→))－eq \(OD1,\s\up6(―→))＝eq \(D1A1,\s\up6(―→))，两者是一对相等向量；对于C，eq \(OA1,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OC1,\s\up6(―→))＝eq \(C1C,\s\up6(―→))，两者是一对相反向量；对于D，设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P，Q，分别取AB，CD的中点E，F，A1B1，C1D1的中点G，H(图略)，则eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→)))＝eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \(OF,\s\up6(―→))＝2eq \(OP,\s\up6(―→))，eq \f(1,2)(eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OB1,\s\up6(―→))＋eq \(OC1,\s\up6(―→))＋eq \(OD1,\s\up6(―→)))＝eq \(OG,\s\up6(―→))＋eq \(OH,\s\up6(―→))＝2eq \(OQ,\s\up6(―→))，两者是一对相反向量．
10．选AD 因为P是CA1的中点，所以eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)，故A正确，B错误；因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，所以eq \(AQ,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1Q,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,5)eq \(A1C,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,5)(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(4,5)eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \f(1,5)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＋eq \f(4,5)eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(1,5)b＋eq \f(4,5)c，故C错误，D正确．
11．解析：eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(DC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→)).
答案：eq \(AD,\s\up6(―→))
12．解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则eq \f(FB,FO)＝eq \f(1,10)，eq \f(DC,HG)＝eq \f(9,10)，∴eq \(HE,\s\up6(―→))＋eq \(FB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,9)eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \(HE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,10)eq \(FO,\s\up6(―→))＋eq \f(1,10)eq \(HG,\s\up6(―→))＝eq \(HE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,10)eq \(FO,\s\up6(―→))＋eq \f(1,10)eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(HE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,10)eq \(EO,\s\up6(―→))＝eq \(HE,\s\up6(―→))＋eq \(EA,\s\up6(―→))＝eq \(HA,\s\up6(―→)).
答案：eq \(HA,\s\up6(―→))
13．解析：连接OE，OF，因为eq \(EH,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(EF,\s\up6(―→))，E，F分别是AB，BC的中点，所以eq \(OH,\s\up6(―→))＝eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \(EH,\s\up6(―→))＝eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(OF,\s\up6(―→))－eq \(OE,\s\up6(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OF,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(―→))，故x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,6)
14．解：(1)根据正方体棱与棱之间的关系，eq \(AB,\s\up6(―→))的相等向量有eq \(A1B1,\s\up6(―→))，eq \(DC,\s\up6(―→))，eq \(D1C1,\s\up6(―→))；eq \(A1B,\s\up6(―→))的相反向量有eq \(BA1,\s\up6(―→))，eq \(CD1,\s\up6(―→)).
(2)用“首尾规则”求解，如果只在含eq \(BB1,\s\up6(―→))的三角形中考虑，有eq \(BB1,\s\up6(―→))＝eq \(BA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1B1,\s\up6(―→))，eq \(BB1,\s\up6(―→))＝eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \(EB1,\s\up6(―→))，eq \(BB1,\s\up6(―→))＝eq \(A1B1,\s\up6(―→))－eq \(A1B,\s\up6(―→))，eq \(BB1,\s\up6(―→))＝eq \(EB1,\s\up6(―→))－eq \(EB,\s\up6(―→)).(答案不唯一)
(3)用“首尾规则”求解，则eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \(BA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1B1,\s\up6(―→))＋eq \(B1E,\s\up6(―→))，eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \(BB1,\s\up6(―→))＋eq \(B1A1,\s\up6(―→))＋eq \(A1D1,\s\up6(―→))＋eq \(D1C1,\s\up6(―→))＋eq \(C1E,\s\up6(―→)).(答案不唯一)
15．解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(DC,\s\up6(―→))所成的比为λ，即eq \f(AE,EB)＝eq \f(DF,FC)＝λ，则有eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(BC,\s\up6(―→)).证明如下：
eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(EB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋λ)eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,1＋λ)(eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DB,\s\up6(―→)))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋λ)(eq \(CB,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋λ)eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋λ)eq \(CB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋λ)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(BC,\s\up6(―→)).
(2)由(1)的结论可得eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,1＋1)eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,1＋1)eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(―→)).