高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算学案，共10页。
1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量.
3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
1.空间向量的夹角
|微|点|助|解|
设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为,
(1)区别:范围不同,0≤α≤π2,0≤≤π.
(2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α==π2;当两向量的夹角为钝角时,α=π-.
2.空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0,即0·a= .
(2)运算律
3.空间向量的投影
(1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2).
(2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量A'B',向量A'B'称为向量a在平面β上的 .这时,向量a,A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
4.空间向量的数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量AB与CD的夹角不等于向量AB与DC的夹角.( )
(2)对空间任意两个非零向量a,b,都有==π-.( )
(3)若a·b=-|a||b|,则a∥b.( )
(4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b.( )
(5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为-12e2.( )
2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|a-b|=( )
A.1 B.32 C.3 D.0
3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则AB与BC的夹角为 ,OA·OB= .
题型(一) 空间向量的数量积
[例1] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为B1C1,AB的中点,设AB=a,AC=b,AA1=c.
(1)用a,b,c表示向量DE;
(2)若|AB|=|AC|=|AA1|=1,∠A1AB=∠BAC=60°,∠A1AC=90°,求DE·BC.
听课记录:
|思|维|建|模|
在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入公式a·b=|a||b|cs求解.
[针对训练]
1.如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则AC·BM的值为( )
A.1 B.13 C.14 D.12
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,则a·(b+c)= ,a·(a+b+c)= ,(a+b)·(b+c)= .
题型(二) 利用数量积证明垂直问题
[例2] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD';
(2)AC'⊥平面B'CD'.
听课记录:
|思|维|建|模|
用向量法证明垂直问题的方法
(1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明.
[针对训练]
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
题型(三) 利用数量积求模与夹角
[例3] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求|AC1|;
(2)求的值.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值.
|思|维|建|模|
1.求异面直线所成角的大小的一般步骤
2.求线段长度的步骤
(1)将线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|= a2得所求长度.
[针对训练]
4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=π3,
BB1=AD=2AB=2BC=2,E是线段B1D上的点,且B1E=2ED.
(1)求|AE|的长;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
课下请完成课时检测(三)
1.1.2 空间向量的数量积运算
◉课前预知教材
1.∠AOB 0≤≤π 0 π π2 ⊥
2.(1)|a||b|cs |a||b|cs 0 (2)λ(a·b) b·a a·c+b·c
3.(1)|a|csbb (2)投影向量
4.|a|cs θ a·b=0 -|a||b| a·a
|a||b| a·b|a||b|
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.A 3.120° 12
◉课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:(1)根据题意可得DE=DA1+A1A+AE=-12(AB+AC)-AA1+12AB
=-12AC-AA1=-12b-c.
(2)易知BC=AC-AB=b-a,且|a|=|b|=|c|=1,显然=∠A1AB==∠BAC=60°,=∠A1AC=90°,
所以DE·BC=−12b−c·b−a=-12b2+12a·b-b·c+a·c=-12+12×1×1×12-0+12=14.
[针对训练]
1.选D 由题意,得BM=BA+AM=BA+12(AP+AC)=BA+12AP+12AC.故AC·BM=AC·BA+12AP+12AC=AC·BA+AC·12AP+AC·12AC=12AC|2=12.
2.解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.
答案:0 1 1
[题型(二)]
[例2] 证明:(1)因为AO=AD+DO=AD+12(DD'+DC)=12(DD'+DC+2AD),CD'=DD'-DC,
所以AO·CD'=12(DD'+DC+2AD)·(DD'-DC)=12(DD'·DD'-DD'·DC+DC·DD'-DC·DC+2AD·DD'-2AD·DC)
=12(|DD'|2-|DC|2)=0,所以AO⊥CD',故AO⊥CD'.
(2)设正方体的棱长为a,则AC'·B'C=(AB+BC+CC')·(B'B+BC)=AB·B'B+AB·BC+BC·B'B+BC·BC+CC'·B'B+CC'·BC=0+0+0+a2-a2+0=0,所以AC'⊥B'C,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'.又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'.
[针对训练]
3.证明:设AD=a,则AB=2a.
因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB,
所以PD·AD=PD·AB=0,
所以PA·BD=(PD+DA)·(AD-AB)=PD·AD-PD·AB-AD2+AD·AB=-|AD|2+AD·AB=-a2+|AD||AB|·cs∠DAB=-a2+2a2×cs 60°=0,所以PA⊥BD,故PA⊥BD.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)|AB|=|AD|=|AA1|=6,AB·AD=AB·AA1=AD·AA1=6×6×cs 60°=18,
∵AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1,
则AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=3×62+3×2×18=216.
∴|AC1|=66.
(2)∵DA1=DA+AA1=AA1-AD,C1B1=-AD,则DA12=(AA1-AD)2=AA12-2AA1·AD+AD2=36,即|DA1|=6,
|C1B1|=6,DA1·C1B1=(AA1-AD)·(-AD)=AD2-AD·AA1=18,
∴cs=DA1·C1B1|DA1||C1B1|=186×6=12,
则=60°.
[变式拓展]
解:∵BD1=BC+CC1+C1D1=-AB+AD+AA1,AC=AB+AD,则BD12=(-AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12-2AB·AD-2AB·AA1+2AD·AA1=72,AC2=AB2+2AB·AD+AD2=108,即|BD1|=62,|AC|=63.BD1·AC=(-AB+AD+AA1)·
(AB+AD)=-AB2+AD2+AB·AA1+AD·AA1=36.∴cs=BD1·AC|BD1||AC|=3662×63=66,即直线BD1与AC所成角的余弦值为66.
[针对训练]
4.解:(1)因为B1E=2ED,所以AE=13AB1+23AD=13AB+13AA1+23AD,
|AE|2=13AB+13AA1+23AD2
=19AB2+19AA12+49AD2+29AB·AA1+49AB·AD+49AA1·AD=19+19×4+49×4+29×1×2×12+49×0+49×2×2×12=319,故|AE|=313.
(2)因为CD=CB+BA+AD=12AD-AB,
|CD|=12AD−AB
=14AD2+AB2−AD·AB=2,
所以AE·CD=13AB+13AA1+23AD·12AD−AB=16AB·AD+16AA1·AD+13AD2-13AB2-13AA1·AB-23AD·AB=0+16×2×2×12+13×22-13×12-13×2×1×12-0=1,
所以cs=AE·CD|AE||CD|=1313×2=36262.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为36262.
定义
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,
则 叫做向量a,b的夹角,记作
范围
,a,b同向时,夹角为 ,反向时,夹角为
向量垂直
如果= ,那么向量a,b互相垂直,记作a b
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b= ,λ∈R
交换律
a·b=
分配律
(a+b)·c=
(1)
a·e=e·a=
(2)
a⊥b⇔
(3)
当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,
a·b=
(4)
求模公式:a·a=|a|2或|a|=
(5)
|a·b|≤ (当且仅当a,b共线时,
等号成立)
(6)
夹角公式:cs=
取向量
根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量
转化角
将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
求余弦
利用数量积求向量夹角的余弦值
定结果
异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值