高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算第2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算第2课时学案设计，共7页。
1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.
3.会证明空间三点共线、四点共面.
1.空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .
2.直线的方向向量
如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .直线可以由其上一点和它的方向向量确定,即OP= .
|微|点|助|解|
(1)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性.
3.共面向量
(1)向量与直线平行:如图,如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l 或 ,那么称向量a 直线l.
(2)向量与平面平行:如果直线OA平行于平面α或 ,那么称向量a平行于平面α.
(3)共面向量:平行于 的向量,叫做共面向量.
4.空间向量共面的充要条件
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 .
|微|点|助|解|
共面向量的推论
(1)向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才能成立,若a,b共线,则不成立.
(2)空间一点P位于平面ABC内⇔存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC或对空间任意一点O,有OP=OA+xAB+yAC.
(3)四点P,A,B,C共面⇔对空间任意一点O,都有OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1.
基础落实训练
1.(多选)下列命题正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行
B.AB=CD的充要条件是A与C重合,B与D重合
C.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB与CD共线
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( )
A.共面向量B.共线向量
C.不共面向量D.不共线向量
题型(一) 向量共线的判定及应用
题点1 三点共线的判定
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且A1E=2ED1,点F在体对角线A1C上,且A1F=23FC.求证:E,F,B三点共线.
听课记录:
题点2 向量共线的应用
[例2] 已知A,B,C三点共线,O为空间不同于A,B,C三点的任一点,则①OA=2OB+μOC;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λOA+mOB+nOC=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为( )
A.1,-1B.-1,0
C.0,1D.0,0
听课记录:
|思|维|建|模|
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:
①是否存在实数λ,使PA=λPB;
②对空间任意一点O,若OP=xOA+yOB,且x+y=1,则P,A,B三点共线.
[针对训练]
1.设向量e1,e2,e3不共面,已知AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+e3,CD=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ=( )
A.1B.2
C.3D.4
2.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.
求证:四边形EFGH是梯形.

题型(二) 向量共面的判定及应用
题点1 证明共面问题
[例3] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,
求证:A1,B,N,M四点共面.
听课记录:
题点2 向量共面定理的应用
[例4] 如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN∥平面CDE.
听课记录:
|思|维|建|模|
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下几个条件进行证明.
①MP=xMA+yMB;②对于空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则有AP=xAB+yAC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[针对训练]
3.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,但任意三点不共线.如果BP=mOA+OB+OC,则m的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).
(1)向量MN是否与向量AB,AA1共面?
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?
课下请完成课时检测(二)
第2课时 共线向量与共面向量
◉课前预知教材
1.a=λb 2.方向向量 λa 3.(1)平行 重合 平行于 (2)在平面α内 (3)同一个平面 4.p=xa+yb
[基础落实训练]
1.AC 2.A
◉课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 证明:如图,连接EF,FB,∵EF=A1F-A1E=25A1C-23A1D1=25(A1A+AB+BC)-23A1D1=25(A1B1+A1D1+A1A)-23A1D1=25A1B1+25A1A-415A1D1,FB=A1B-A1F=A1B1+A1A-25(A1B1+A1D1+A1A)=35A1B1+35A1A-25A1D1,
∴EF=23FB,∴EF∥FB,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线.
[例2] 选B ∵A,B,C三点共线,OA=2OB+μOC,∴2+μ=1,解得μ=-1.又由λOA+mOB+nOC=0,得OA=-mλOB-nλOC,由A,B,C三点共线知,-mλ-nλ=1,则λ+m+n=0.故选B.
[针对训练]
1.选C 由AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+e3,得AC=AB+BC=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以AC∥CD,则存在唯一实数μ,使得AC=μCD,
则2=4μ,1+λ=8μ,2=4μ,解得μ=12,λ=3.
2.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴AE=12AB,AH=12AD.
∵EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD
=12(CD-CB)=1232CG−32CF
=34(CG-CF)=34FG,
∴EH∥FG,且|EH|=34|FG|≠|FG|.
又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
[题型(二)]
[例3] 证明:如图,连接A1M,A1N,A1B,设AA1=a,AB=b,AD=c,则A1B=b-a,∵M为DD1的中点,
∴A1M=c-12a,又AN∶NC=2∶1,∴AN=23AC=23(b+c),∴A1N=AN-AA1=23(b+c)-a=23(b-a)+23c−12a
=23A1B+23A1M,∴A1N,A1B,A1M为共面向量,又三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.
[例4] 证明:∵M在BD上,且BM=13BD,
∴MB=13DB=13DA+13AB.
同理得AN=13AD+13DE.
∴MN=MB+BA+AN=13DA+13AB+BA+13AD+13DE=23BA+13DE=23CD+13DE.又CD与DE不共线,∴根据向量共面的充要条件可知MN,CD,DE共面.
∵MN不在平面CDE内,∴MN∥平面CDE.
[针对训练]
3.选A 因为BP=OP-OB,所以由BP=mOA+OB+OC得OP-OB=mOA+OB+OC,即OP=mOA+2OB+OC,因为O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,且四点共面,所以m+2+1=1,故m=-2.
4.解:(1)∵AM=kAC1,BN=kBC,
∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1
=AB-k(AA1+AB)=(1-k)AB-kAA1,∴由向量共面定理知向量MN与向量AB,AA1共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内;当0