高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算第1课时导学案

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1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算.
逐点清(一) 空间向量的有关概念
[多维理解]
1.空间向量的概念
2.几类特殊的空间向量
|微|点|助|解|
(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向,单位向量有无数个,它们的方向并不确定,故它们不一定相等.而所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等、方向相同.
[微点练明]
1.下列说法正确的是( )
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
2.给出下列命题:
①零向量没有方向;
②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
3.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中( )
A.单位向量有8个
B.与AB相等的向量有3个
C.AA1的相反向量有4个
D.模为5的向量有4个
逐点清(二) 空间向量的加减运算
[多维理解]
|微|点|助|解|
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…+An−1An=A1An.
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…+AnA1=0.
(3)空间向量加、减法运算的两个技巧
[微点练明]
1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则AB-DB-AC=( )
A.AD B.CD C.BC D.DA
2.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量BD1的是( )
A.(BC+BB1)-D1C1
B.(A1D1-A1A)-AB
C.(AD-AB)+DD1
D.(B1D1-A1A)-DD1
3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简A1F1-EF+AB+CC1+DF,并在图中标出化简结果.

逐点清(三) 空间向量的数乘运算
|微|点|助|解|
(1)λa=0⇔λ=0或a=0.
(2)λ的正负影响λa的方向,λ绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
[典例] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1)AP;(2)A1N;(3)MP.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件不变,试用a,b,c表示向量PN.
2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上,且C1PPD1=12”,其他条件不变,如何表示AP?
|思|维|建|模|
(1)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,运用三角形法则或平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)空间向量线性表示的常用结论
①AB=OB-OA;
②在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有AC1=AB+AD+AA1;
③若O为空间中任意一点,则点P是线段AB中点的充要条件是OP=12(OA+OB);若G为△ABC的重心,
则OG=13(OA+OB+OC).
[针对训练]
1.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.
若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则DM=( )
A.12a-12b-cB.12a-12b+c
C.-12a+12b+cD.-12a+12b-c
2.如图,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,
化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)AG+13BE-12AC;
(2)12(AB+AC-AD);
(3)13AB+13AC+13AD.
课下请完成课时检测(一)
第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.大小 方向 长度 模 长度 |a| |AB| 2.零向量 0 模为1 相等 相反 -a 互相平行或重合 平行
0∥a 相同 相等 同向 等长
[微点练明] 1.C 2.D 3.ABC
[逐点清(二)]
[多维理解] 首尾顺次相接 共起点
共起点,连终点
[微点练明]
1.选B AB-DB-AC=AB+BD-AC=AD-AC=CD.
2.选ABC 如图,(BC+BB1)-D1C1=BC1-D1C1=BC1+C1D1=BD1;(A1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1;(AD-AB)+DD1=BD+DD1=BD1;(B1D1-A1A)-DD1=(B1D1-B1B)-DD1=BD1+D1D=BD.
3.解:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形,所以A1F1=AF.同理CC1=
DD1,DF=D1F1,由正六棱柱性质可知AB=ED,所以A1F1-EF+AB+CC1+DF=AF-EF+(ED+DD1+D1F1)
=AE+EF1=AF1,所以化简结果如图所示.
[逐点清(三)]
相同 相反 |λ| (λμ)a
λa+μa λa+λb
[典例] 解:(1)∵P是C1D1的中点,∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+12b+c.
(2)∵N是BC的中点,∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.
(3)∵M是AA1的中点,∴MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c.
[变式拓展]
1.解:因为P,N分别是C1D1,BC的中点,
所以PN=PC1+C1C+CN=12AB+(-AA1)+−12AD=-a+12b-12c.
2.解:AP=AD1+D1P=AA1+AD+23AB=a+23b+c.
[针对训练]
1.选A 依题意,DM=DD1+D1M=AA1+12D1B1=AA1+12(A1B1-A1D1)=12A1B1-12A1D1-A1A=12a-12b-c.
2.解:(1)连接EF,∵G是△BCD的重心,∴GE=13BE.又12CA=EF,∴由向量加法的三角形法则可知,
AG+13BE+12CA=AG+GE+EF=AE+EF=AF.在图中标出AF,如图所示.
(2)连接AH,∵F,H分别为AD,BC的中点,∴12(AB+AC-AD)=12(2AH-AD)=AH-12AD=AH-AF=FH.在图中标出FH,如图所示.
(3)13AB+13AC+13AD=AB+13(AC-AB)+13(AD-AB)=AB+13(BC+BD)=AB+23BE=AB+BG=AG.在图中标出AG,如图所示.
定义
在空间,把具有 和 的量叫做空间向量
长度
或模
空间向量的大小叫做空间向量的 或
表示
方法
①几何表示:用有向线段表示,有向线段的 表示空间向量的模.
②字母表示:用字母a,b,c,…表示,若向量a的起点是A,终点是B,
则向量a也可以记作AB,其模记为 或
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做 ,记为
单位向量
的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度 而方向 的向量,叫做a的相反向量,记为
共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定:零向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有
相等向量
方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间, 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
项目
语言叙述
图形表示
加法
运算
三角形
法则
,首指向尾为和
a+b=AB+BC=AC
平行
四边形
法则
为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
a+b=OA+OB=OC
减法
运算
三角形
法则
,方向指向被减向量
a-b=OA-OB=BA
加法
运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
巧用
相反
向量
向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用
平移
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
定义
与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘
几何意义
λ>0
λa与向量a的方向
λa的长度是a的长度的 倍
λ