高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案设计

空间向量的数量积运算

【学习目标】

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。

2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题。

【学习过程】

一、预习

1．空间向量的夹角

想一想：<>与<>相等吗？<>与<>呢？

2．空间向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量，则||||

（2）数量积的运算律：

（3）数量积的性质

想一想：类比平面向量，你能说出的几何意义吗？

3．如何理解空间向量的夹角？

（1）任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围一样，即；

（2）空间向量的夹解在之间，但直线夹角在内，利用向量求直线夹角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数。

4．如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？

由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同。

5．怎样理解向量的应用？

由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决。

（1）=||||可用来求两个向量的夹角、两条异面直线所成的角。

（2），用于判断空间两个向量（或空间两条直线）的垂直。

（3），用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度。

拓展：（1）空间向量数量积运算不满足消去律，即

（2）空间向量的数量积运算不满足结合律，即不正确。

二、课堂互动

类型一：利用数量积求夹角

例1：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线BC1与AC的夹角的大小。

类型二：利用数量积求两点间的距离

例2：如图，已知线段AB⊥平面αBCα，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A．D两点间的距离。

类型三：利用数量积证明垂直关系

例3：如图已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，求证CA1⊥B1D1．

【达标检测】

限时：20分钟  使用时间：

1．设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：

①；

②；

③垂直；

④

A．①②  B．②③  C．③④  D．②④

2．空间向量

A． B．  C．  D．

3．空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则的值为（    ）

A．  B．  C．  D．0

4．设向量

5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若棱长为a，求。