选择性必修 第一册空间向量基本定理学案

这是一份选择性必修 第一册空间向量基本定理学案，共8页。
1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理,掌握判断空间三个向量是否构成基底的方法.
2.能通过空间向量的线性运算用基底表示向量,会用基底法证明空间位置关系及直线所成的角.
1.空间向量基本定理
2.空间向量的正交分解
|微|点|助|解|
(1)基底的不唯一性.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,同一非零向量在不同基底下的有序实数组是不同的.
(2)基底中不能有零向量.三个向量a,b,c不共面隐含着它们都不为0.
(3)当基底确定后,实数组(x,y,z)是唯一确定的.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间的一个基底的是( )
A.{AB,BC,A1C1}B.{AB,AB1,AA1}
C.{AB,AC,AA1}D.{AA1,AC,A1C1}
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD1∩A1D=O,记向量DA=a,DC=b,DD1=c,则向量CO=( )
A.12a+b+12c
B.a+b+12c
C.12a-b+12c
D.a+12b+12c
题型(一) 基底的判断
[例1] (多选)下列命题正确的是( )
A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底
B.已知向量a,b不共线,存在实数λ,μ,使得c=λa+μb(λμ≠0),则{a,b,c}能构成空间的一个基底
C.设A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面
D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
听课记录:
|思|维|建|模|
判断给出的三个向量能否构成基底的方法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
[针对训练]
1.(多选)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组能构成空间的一个基底的是( )
A.{a+b,a-b,c}
B.{a+b,b+c,c+a}
C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c}
D.{a+b,a+b+c,2c}
题型(二) 用基底表示向量
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知AA'=a,AB=b,AC=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量AM,AN.
听课记录:
|思|维|建|模| 用基底表示向量的一般步骤
[针对训练]
2.如图,四棱锥P-OABC的底面为矩形,PO⊥平面OABC,E,F分别是PC和PB的中点.设OA=a,OC=b,OP=c,试用a,b,c表示BF,BE,AE,EF.
题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题
[例3] 如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
听课记录:
|思|维|建|模|
用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路
(1)选取恰当的基底.
(2)将所求向量用基底表示.
(3)将几何问题转化为向量问题:
①将距离和线段长转化为向量的模;
②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题;
③将空间角问题转化为向量夹角问题.
[针对训练]
3.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求.
课下请完成课时检测(四)
1.2 空间向量基本定理
◉课前预知教材
1.唯一 基底 2.两两垂直 1 两两垂直
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ 2.C 3.C
◉课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选ACD 假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb.因为d与c共线,c≠0,所以存在实数k,使得d=kc.因为d≠0,所以k≠0,从而c=λka+μkb,所以c与a,b共面,与条件矛盾,所以d与a,b不共面,所以{a,b,d}也可以作为空间的一个基底,A正确.向量a,b不共线,存在实数λ,μ,使得c=λa+μb(λμ≠0),则a,b,c共面,故不能构成空间的一个基底,B错误.由{BA,BM,BN}不能构成空间的一个基底,知BA,BM,BN共面,且有公共点B,故A,B,M,N四点共面,C正确.可证a,b,m不共面,故{a,b,m}是空间的一个基底,D正确.
[针对训练]
1.选AB 因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一个基底,故A正确;a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;因为a+b=a+b+c-12·2c,所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
[题型(二)]
[例2] 解:AM=AB+BM=AB+12(BC+BB')=AB+12BB'+12(AC-AB)=AB+12AA'+12(AC-AB)=b+12a+12(c-b)=b+12a+12c-12b=12a+12b+12c,即AM=12a+12b+12c,AN=AA'+A'B'+B'N=AA'+A'B'+12B'C'=AA'+A'B'+12(A'C'-A'B')=a+b+12(c-b)=a+b+12c-12b=a+12b+12c,即AN=a+12b+12c.
[针对训练]
2.解:如图,连接BO,则BF=12BP=12(BO+OP)=12(c-b-a)=-12a-12b+12c,BE=BC+CE
=-a+12CP=-a+12(CO+OP)=-a-12b+12c,AE=AP+PE=AP+12PC=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)
=-a+12b+12c,EF=12CB=12OA=12a.
综上,BF=-12a-12b+12c,BE=-a-12b+12c,AE=-a+12b+12c,EF=12a.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)证明:设CA=a,CB=b,CC'=c,
根据题意,得|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=c·a=0.易知CE=b+12c,A'D=-c+12b-12a.∴CE·A'D=-12c2+12b2=0.
∴CE⊥A'D,即CE⊥A'D.
(2)∵AC'=-a+c,∴|AC'|=2|a|.
又CE=b+12c,∴|CE|=52|a|.∵AC'·CE=(-a+c)·b+12c=12c2=12|a|2,
∴cs