人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程课后复习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程课后复习题，共10页。试卷主要包含了若点P在圆C，已知A、B是圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.（2025江苏扬州中学月考）已知圆C:x2+y2−mx+3y+3=0关于直线l:mx+y−m=0对称，则实数m的值为（ ）
A. 1或-3
B. 1
C. 3
D. -1或3
2.(2025浙江宁波镇海中学月考)已知m是实常数，若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆，则m的取值范围为（ ）
A. (−∞,20)
B. (−∞,5)
C. (5,+∞)
D. (20,+∞)
3.（易错题）若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x−y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A. (−2,+∞)
B. −2,−12
C. −2,12
D. (−2,2)
4.已知A、B是圆C：x2+y2−2x−4y+1=0上的两点，且|AB|=23，点O为坐标原点，则|OA+OB|的最小值为（ ）。
选项：
A. 2
B. 4
C. 5−1
D. 25−2
5.（2025广东佛山期中）与圆x2+y2−2x+4y+3=0同圆心，且过点(1,−1)的圆的方程是（ ）
A. x2+y2−2x+4y−4=0
B. x2+y2−2x+4y+4=0
C. x2+y2+2x−4y−4=0
D. x2+y2+2x−4y+4=0
6.(2025河北衡水中学月考)已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为π，则m=（ ）
A. ±2
B. ±22
C. ±42
D. ±8
二、多选题
7.已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0)，下列结论正确的是（ ）。
选项：
A. AB的距离为2
B. 直线BC的一般式方程为x−2y−1=0
C. 以BC为直径的圆方程为x2+y2−6x−2y+5=0
D. ΔABC外接圆的方程为x2+y2−6x−2y+5=0
8.在平面内，已知线段AB的长度为4，则满足下列条件的点P的轨迹为圆的是（ ）
A. ∠APB=90∘
B. |PA|2+|PB|2=10
C. PA⋅PB=−6
D. |PA|=3|PB|
9.(2025湖南长沙模拟)方程x2+y2−2mx−4y+2m2−4m−1=0所表示的圆的相关说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为(m,2)
B. 圆的半径为−m2+4m+5
C. 圆的最大面积为9π
D. 当m=2时，圆的半径最大
三、填空题
10.(2025湖南长沙长郡中学月考)已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则a=________.
11.(2024浙江台州期中)已知实数x，y满足方程x2+y2−4x+1=0，则x2+y2的最小值为________.
12.(2025辽宁鞍山一中期中)已知圆C:x2+y2+6x−4y+9=0，A是圆C上的动点，点B(3,0)，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________.
四、解答题
13.(2025广东茂名期中）已知平面直角坐标系中有A(−1,5)，B(5,5)，C(−3,1)，D(6,−2)四点，则这四点是否在同一个圆上？若是，求出圆的一般方程；若不是，请说明理由。
14.(2025四川成都段考)某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥（如图1），该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系（A(−8,0)，B(8,0)，C(0,4)）。
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由（附：3≈1.732）。
15.(2024山东菏泽段考)已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,3)。
(1)求△ABC的外接圆的方程；
(2)在外接圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程。
一、单选题
1.答案：B
解析：圆关于直线对称，需满足两个条件：①直线过圆心；②圆的一般方程满足“表示圆的条件”（D2+E2−4F>0）。
步骤1：将圆C:x2+y2−mx+3y+3=0化为标准形式，圆心为(m2,−32)，半径平方r2=m24+94−3=m2−34，故需m2−3>0（m2>3）；
步骤2：圆心在直线l:mx+y−m=0上，代入得m⋅m2+(−32)−m=0，整理为m2−2m−3=0，解得m=3或m=−1；
步骤3：验证m2>3：m=3时9>3（符合），m=−1时10。
方程中D=2，E=4，F=m，代入得22+42−4m>0，即4+16−4m>0；
化简得20−4m>0，解得m0）；②点到圆心的距离平方大于半径平方（或点代入圆方程左边大于0）。
步骤1：圆C:x2+y2+x−y+k=0，D=1，E=−1，F=k，故12+(−1)2−4k>0，即2−4k>0，解得k0，即2+k>0，解得k>−2；
综上，k∈(−2,12)。
4.答案：D
解析：将圆C的方程化为标准形式：
x2+y2−2x−4y+1=0 配方得 (x−1)2+(y−2)2=4，
所以圆心C(1,2)，半径r=2。
设弦AB的中点为M。由于|AB|=23，根据弦长公式：
|AB|=2r2−d2=23，其中d为圆心C到弦AB的距离（即|CM|）。
代入r=2：24−d2=23，解得d2=1，即d=1。
因此点M在以C(1,2)为圆心、半径为1的圆上。
|OA+OB|=|2OM|=2|OM|，其中O为原点(0,0)。
问题转化为求|OM|的最小值，即点M到原点O的最小距离。
点C(1,2)到原点O的距离为|OC|=12+22=5。
点M在以C为圆心、半径为1的圆上，所以|OM|的最小值为|OC|−1=5−1。
因此|OA+OB|的最小值为2(5−1)=25−2。
5.答案：A
解析：先求已知圆的圆心，再求新圆的半径，最后写圆的一般方程。
步骤1：已知圆x2+y2−2x+4y+3=0，圆心为(22,−42)=(1,−2)；
步骤2：新圆过点(1,−1)，半径r=(1−1)2+(−1+2)2=1，故半径平方r2=1；
步骤3：新圆的标准方程为(x−1)2+(y+2)2=1，展开为x2−2x+1+y2+4y+4=1，整理为x2+y2−2x+4y−4=0。
6.答案：B
解析：圆的面积为π，故半径r=1（面积S=πr2=π⇒r2=1）。
圆C:x2+y2+mx+1=0，半径平方r2=m24−1；
由r2=1得m24−1=1，即m24=2，解得m2=8，故m=±22。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：选项A：
计算|AB|：点A(4,3)和B(5,2)，距离为(5−4)2+(2−3)2=1+1=2≠2，故A错误。
选项B：
求直线BC的方程：点B(5,2)和C(1,0)，斜率k=0−21−5=−2−4=12。
点斜式：y−2=12(x−5)，化为一般式：2y−4=x−5，即x−2y−1=0，故B正确。
选项C：
以BC为直径的圆：圆心为BC的中点，即5+12,2+02=(3,1)。
半径r=|BC|2=(5−1)2+(2−0)22=16+42=202=5。
圆方程：(x−3)2+(y−1)2=5，展开得x2+y2−6x−2y+5=0，故C正确。
选项D：
由于点A、B、C满足圆方程x2+y2−6x−2y+5=0（验证：代入A、B、C坐标均使方程为0），且该圆是以BC为直径的圆（因三角形ABC为直角三角形，∠A=90°），故该圆也是△ABC的外接圆，D正确。
8.答案：BD
解析：设A(−2,0)，B(2,0)（线段AB长4，简化坐标），P(x,y)，逐一分析：
A：∠APB=90°，轨迹为以AB为直径的圆（除去A,B），但题目未说明“不包括A,B”，严格来说“轨迹为圆（含端点）”，但通常此类题中P不与A,B重合，需结合选项；
B：|PA|2+|PB|2=10，代入坐标得(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=10，化简为2x2+2y2+8=10，即x2+y2=1（圆），正确；
C：PA⋅PB=−6，PA=(−2−x,−y)，PB=(2−x,−y)，点积为(x2−4)+y2=−6，化简为x2+y2=−2无轨迹，排除C；
D：|PA|=3|PB|，代入得(x+2)2+y2=3(x−2)2+y2，平方化简为x2+y2−5x+4=0（圆），正确；
9.答案：ACD
解析：将圆的一般方程化为标准形式分析：
方程x2+y2−2mx−4y+2m2−4m−1=0，配方得(x−m)2+(y−2)2=−m2+4m+5；
A：圆心为(m,2)，正确；
B：半径r=−m2+4m+5（需−m2+4m+5>0），错误；
C：半径平方−m2+4m+5=−(m−2)2+9，最大值为9，故最大面积π×9=9π，正确；
D：当m=2时，半径平方最大为9，半径最大为3，正确。
三、填空题
10.答案：-1
解析：方程表示圆的条件：①x2,y2系数相等且不为0；②D2+E2−4F>0。
步骤1：a2=a+2，解得a=2或a=−1；
步骤2：验证系数不为0：a=2时a2=4≠0，a=−1时a2=1≠0；
步骤3：验证D2+E2−4F>0：
a=2时，方程化为4x2+4y2+4x+8y+10=0（即x2+y2+x+2y+52=0），D=1，E=2，F=52，1+4−10=−50，符合；
11.答案：7−43
解析：x2+y2表示点(x,y)到原点的距离平方，求其最小值即求原点到圆上点的距离的最小值的平方。
步骤1：圆方程x2+y2−4x+1=0，配方得(x−2)2+y2=3，圆心(2,0)，半径r=3；
步骤2：原点到圆心的距离d=(2−0)2+02=2；
步骤3：原点到圆上点的最小距离为d−r=2−3，故x2+y2的最小值为(2−3)2=4−43+3=7−43。
12.答案：x2+y2−6y=0
解析：用“相关点法”求轨迹：设M(x,y)，A(x0,y0)，因M是AB中点，故x=x0+32，y=y0+02，即x0=2x−3，y0=2y。
步骤1：A(x0,y0)在圆C上，代入圆方程x02+y02+6x0−4y0+9=0；
步骤2：将x0=2x−3，y0=2y代入得(2x−3)2+(2y)2+6(2x−3)−4(2y)+9=0；
步骤3：展开化简：4x2−12x+9+4y2+12x−18−8y+9=0，即4x2+4y2−8y=0，整理为x2+y2−2y=0（原答案可能有误，正确化简结果为x2+y2−2y=0）。
四、解答题
13.解：
四点共圆的判断方法：先求过三点的圆的方程，再验证第四点是否在圆上。
步骤1：设过A(−1,5)、B(5,5)、C(−3,1)的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入三点坐标：
A：1+25−D+5E+F=0，即−D+5E+F=−26（①）；
B：25+25+5D+5E+F=0，即5D+5E+F=−50（②）；
C：9+1−3D+E+F=0，即−3D+E+F=−10（③）；
步骤2：解方程组：②-①得6D=−24⇒D=−4；代入①得4+5E+F=−26⇒5E+F=−30（④）；代入③得12+E+F=−10⇒E+F=−22（⑤）；④-⑤得4E=−8⇒E=−2，代入⑤得F=−20；
步骤3：圆的方程为x2+y2−4x−2y−20=0，验证D(6,−2)：代入左边得36+4−24+4−20=0，满足方程；
结论：四点共圆，圆的一般方程为x2+y2−4x−2y−20=0。
14.解：
(1) 求拱圆方程：设拱圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A(−8,0)、B(8,0)、C(0,4)：
A：64+0−8D+0+F=0（①）；
B：64+0+8D+0+F=0（②）；
C：0+16+0+4E+F=0（③）；
①+②得128+2F=0⇒F=−64，代入①得D=0；代入③得16+4E−64=0⇒E=12；
拱圆方程为x2+y2+12y−64=0（或标准形式x2+(y+6)2=100，y≥0，因是拱圆，取上半圆）。
(2) 判断游船能否通过：游船宽10m，水面以上高3m，即判断点(5,3)（或(−5,3)）是否在拱圆内部（或下方）。
代入拱圆方程左边：52+32+12×3−64=25+9+36−64=6