人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算测试题

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1.已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量的模长为1.若与垂直，求的大小.
2.在边长为1的正三角形中，则的值为______.
3.已知，下列关系一定正确的是（ ）
A.
C.
B.
D.4.已知两向量满足所成的角为，若向量，与向量所成的角为钝角，求实数的取值范围.
5.已知同一平面上的向量两两所成的角相等，并且，求的长度.
类型一：对投影向量定义理解错误
【错因解读】投影向量的模长确定后，投影向量有两个方向，因此必须分类讨论才能得到正确的结果.
【典例引导】已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量的模长为1.若与垂直，求的大小.
【错误解法】由题意，
有即，
∵与垂直，
∴，化简为，即，则.
【正确解法】由题意，
若投影向量与反向，则，即，
∵与垂直，
∴，化简为，即，则.
若投影向量与同向，则即，
∵与垂直，
∴，化简为，即，则.
故或3.
【补救措施】本题的错误在于未注意分类讨论投影向量的方向.
总结：向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序.
【再练一个】
1．平面向量，，满足，，，，则下列说法一定正确的有（ ）
A．在上的投影向量为B．在上的投影向量为
C．至少一个为1D．均大于等于1
类型二：对两向量夹角的定义理解不清致错
【错因解读】求解涉及两向量夹角的问题过程中没有注意两向量起点要重合
【典例引导】在边长为1的正三角形中，则的值为______.
【错误解法】由题意，
.
故答案为：.
【正确解法】由题意，
.
故答案为：.
【补救措施】本题的错误在于向量与与与的夹角通过向量平移后发现不是，而是，这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的.
总结：在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合.
【再练一个】
2．给定向量，和的夹角为.求 .
类型三：忽视平面向量的运算律出错
【错因解读】运用平面向量的运算律时不熟练导致得出错误结果.
【典例引导】已知，下列关系一定正确的是（ ）
A.
C.
B.
D.
【错误解法】由题意，
错解一：由，两边同除以，所以，
故选D.
错解二：当时，两边都等于0，
故选C.
【正确解法】由题意，
由已知，∴，即，
∴，
故选B.
【补救措施】本题的错误在于：错解一混淆了向量数量积与实数的积的概念；错解二没有注意题设的条件用特殊情况代替了一般情形.
总结：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出.
（2）已知实数，且，则，但在向量的数量积中没有.
（3）在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.
【再练一个】
3．已知，，与的夹角为，求及的值．
类型四：求参数范围时混淆向量夹角的范围与角的关系致错
【错因解读】两个向量所成角的范围是，两个向量所成的角为钝角，误认为两向量所成角为时，所成的角也是钝角，导致所求的结果范围扩大.
【典例引导】已知两向量满足所成的角为，若向量，与向量所成的角为钝角，求实数的取值范围.
【错误解法】由题意，
与的夹角为，因此.
设向量与向量的夹角为，由为钝角，
知，故，
解得.
∴的取值范围是.
【正确解法】由题意，
设向量与向量的夹角为，由为钝角，
知，故，
解得.
若向量与向量反向，则，
从而且，解得即当时，两向量所成的角为.
∴的取值范围是.
【补救措施】本题的错误在于误认为角度为时也属于钝角，从而使解集包含了不合题意的点，最终导致结果范围扩大.
总结：，不一定得到，但可以得到是向量与平行的充分而不必要条件，当为锐角时，，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，，且不反向，是为钝角的必要非充分条件.
【再练一个】
4．已知不同四点满足，且，且为锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
类型五：忽略特殊情况共线向量
【错因解读】求解时忽略向量在特殊角度时共线情况.
【典例引导】已知同一平面上的向量两两所成的角相等，并且，求的长度.
【错误解法】由题意，
向量都是非零向量，设向量两两所成的角为，则，即，∴，
同理，由
，∴的长度为.
【正确解法】由题意，
（1）当向量共线且同向时，向量两两所成的角均为，
又，
∴；
（2）当向量不共线时，设向量两两所成的角为，则，即，
∴，同理，
.
故的长度为.
综上所述，的长度为6或.
【补救措施】本题的错误在于误认为向量都是非共线向量，而当向量共线且同向时，向量两两所成的角均为，也符合题意.
总结：平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）.
【再练一个】
5．已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
（易错点：求参数范围时混淆向量夹角的范围与角的关系致错）
6．已知非零向量与的夹角为，若，的取值范围是 .
（易错点：对两向量夹角的定义理解不清致错）
7．设正三角形的边长为，，，，求的值.

（易错点：忽略特殊情况共线向量）
8．已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：忽视平面向量的运算律出错）
9．已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
（易错点：对投影向量定义理解错误）
10．已知向量在向量上的投影向量的模为，向量在向量上的投影向量的模为，且，则 ．
《6.2 平面向量的运算【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．ACD
【分析】用向量数量积的坐标表示得到向量，，坐标的关系，利用投影向量的计算判断AB选项，利用向量模的计算判断CD选项.
【详解】由，不妨设，
则，解得，
所以，
A选项，在上的投影向量为，故A正确；
B选项，在上的投影向量是，
因为但不一定为0，故B错误；
C选项，因为，所以至少一个为，
又因为，所以至少一个为1，故C正确；
D选项，由C可知，均大于等于1，故D正确.
故选：ACD.
2．
【分析】由向量数量积运算律和向量夹角、模的运算计算得到答案.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
3．，.
【分析】利用向量数量积定义可求得，由向量数量积的运算律可求得和，由此可得结果.
【详解】，
，，
，.
4．B
【分析】利用向量数量积的运算结合余弦函数的值域，解不等式求解即可.
【详解】设，由得，
两边平方得，整理得，
因为为锐角，所以，即，解得或，
所以的取值范围是.
故选：B．
5．或9
【分析】由三个非零平面向量，，两两夹角相等得 或，再分别计算求解即可
【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．
故答案为：或9
6．
【分析】由向量夹角的范围和余弦函数的单调性得到的取值范围.
【详解】因为是两个非零向量的夹角，所以，
又因为，余弦函数在上是减函数，所以，
故答案为：.
7．
【解析】利用向量数量积的定义可求的值.
【详解】∵，且与，与与的夹角均为，
∴.
【点睛】本题考查向量的数量积，注意向量的夹角应满足“起点归一”，这是向量数量积的计算过程中的易错点，本题属于基础题.
8．B
【分析】将三点共线问题转化为​向量平行条件​​，即可得解.
【详解】由三点共线，则存在实数使得，
，，
由共线性质，则有，
因为不共线，得系数关系，消去，得.
故选：B.
9．AB
【分析】A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.
【详解】A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；
C.若，则，则，故错误；
D. 与共线，与共线，故错误；
故选：AB
10．或
【分析】根据向量投影的定义求出、的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】设向量与向量的夹角为，由题意可得，可得.
当时，则，所以，；
当时，则，所以，.
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.