高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的概念课后练习题

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1.判断下列说法是否正确：“如果两个向量的模相等，则它们相等”.
2.下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知向量的方向是正东方向，模为1.向量的方向是正北方向，模为1.问：和是否相等？
4.下列有关向量的说法正确的是（ ）
A.向量又称有向线段
B.平行向量一定相等
C.平行向量一定共线
D.平面直角坐标系中的轴，轴均为向量
5.若与都是单位向量且共起点，则，这个结论正确吗？
类型一：混淆向量与标量的本质区别
【错因解读】容易忽略向量的方向性，将向量视为标量（只有大小），错误地认为向量可以仅通过大小比较或判断.
【典例引导】判断下列说法是否正确：“如果两个向量的模相等，则它们相等.”.
【错误解法】由题意，
正确，模相等就意味着向量相同.
【正确解法】由题意，
不正确.两个向量相等的充要条件是模相等且方向相同.
例如，两个向量模均为5，但一个方向向东，另一个方向向西，则它们不相等.
【补救措施】本题的错误在于忽视了向量的方向性，仅关注大小.
总结：量包含大小和方向两个要素，缺一不可；标量只有大小，两者本质不同.
【再练一个】
（2026四川眉山实验高级中学高一下期3月月考）
1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A．质量B．速度C．位移D．力
类型二：零向量的方向理解错误
【错因解读】错误认为零向量没有方向，或方向固定，忽略了零向量的方向是任意的，且与任何向量平行.
【典例引导】下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0.
A.1 B.2 C.3 D.4
【错误解法】由题意，
（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）认为零向量是没有方向的，故正确；
（3）认为零向量有方向但方向固定，故错误；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确.
故选：B.
【正确解法】由题意，
（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确.
故选：B.
【补救措施】本题的错误在于对零向量的性质理解不全面.
总结：零向量的方向是任意的；根据定义，它与所有向量平行（平行向量包括方向相同或相反的情况）.
【再练一个】
2．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
类型三：单位向量的唯一性误解
【错因解读】误认为所有单位向量都相同，忽略了单位向量的定义只要求模为1，但方向可以不同.
【典例引导】已知向量的方向是正东方向，模为1.向量的方向是正北方向，模为1.问：和是否相等？
【错误解法】由题意，可以判断相等，因为它们的模为1，都是单位向量.
故相等.
【正确解法】由题意，可以判断不相等.
单位向量是模为1的向量，但方向不同则向量不同.题中向东，向北，方向不同，故.
故不相等.
【补救措施】本题的错误在于将单位向量视为唯一的.
总结：位向量有无限多个，每个方向都可定义一个单位向量；判断向量相等必须同时满足模相等和方向相同.
【再练一个】
3．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
类型四：平行向量的方向关系考虑不全
【错因解读】只考虑平行向量方向相同的情况，忽略了方向相反也属于平行，导致错误判断平行关系.
【典例引导】下列有关向量的说法正确的是（ ）
A.向量又称有向线段
B.平行向量一定相等
C.平行向量一定共线
D.平面直角坐标系中的轴，轴均为向量
【错误解法】由题意，
对于A选项：向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误.
对于B选项：认为“平行向量方向相同，因此大小也相同，故一定相等”.故B选项正确.
对于C选项：认为“如果向量方向相反，则它们不平行，因此平行向量不一定共线”.故C选项错误.
对于D选项：向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误.
故选：B.
【正确解法】由题意，
对于A选项：向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误.
对于B选项：平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误.
对于C选项：平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确.
对于D选项：向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误.
故选：C.
【补救措施】本题的错误在于对平行向量的定义理解片面.
总结：平行向量指方向相同或相反（包括零向量）；方向相反时仍满足平行条件.
【再练一个】
（2027届甘肃酒泉普通高中高一下期期末考试）
4．下列条件中能得到的是（ ）
A．B．与的方向相同
C．，且D．且
类型五：相等向量的条件遗漏方向或位置干扰
【错因解读】误认为模相等或方向相同就足以判定向量相等；或引入位置因素（如起点），忽略向量是自由量（仅由大小和方向决定）.
【典例引导】若与都是单位向量且共起点，则，这个结论正确吗？
【错误解法】由题意，
由与都是单位向量且起点相同，则它们的模相等，
∴.
∴这个结论是正确的.
【正确解法】由题意，
由与都是单位向量，得与的方向是任意的，它们不一定相等，
当且仅当方向相同时，且向量的位置不影响向量本身定义.
∴这个结论是错误的.
【补救措施】本题的错误在于忽视了相等向量的方向与模都要相等，而且向量相等与否与位置无关.
总结：向量相等仅取决于大小（模）和方向；位置不影响向量本身的定义.
【再练一个】
5．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个.
（易错点：混淆向量与标量的本质区别）
（2027届河南开封宇华实验高中高一下期第一次联考）
6．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
（易错点：相等向量的条件遗漏方向或位置干扰）
7．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
（易错点：单位向量的唯一性误解）
8．下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量是一个单位向量
D．零向量没有方向
（易错点：平行向量的方向关系考虑不全）
9．四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ．
①；②；③；④．
（易错点：零向量的方向理解错误）
10．判断说法是否正确：“零向量的方向是任意的，但它与任何向量都平行”.
《6.1 平面向量的概念【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．A
【分析】由向量的概念判断即可.
【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量.
故选：A
2．D
【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.
【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D.
3．C
【分析】根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，
故选：C．
4．D
【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项.
【详解】因等价于长度相等，方向相同.
对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误；
对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误；
对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误；
对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确.
故选：D.
5．9
【分析】根据正六边形的特点，以及向量共线的定义可求答案.
【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个.
故答案为：9.
6．A
【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；
速度、力、加速度、位移是向量；
所以向量共有个.
故选：A
7．B
【分析】画出图形，根据相等向量的定义找出不相等的向量即可.
【详解】如图，两两互不相等的向量有，共8个.
故选:B.
8．BC
【分析】根据单位向量、共线向量及零向量的定义判断各项的正误即可.
【详解】A：由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，错；
B：由向量、向量的方向相反、模长相同，即长度相等，对；
C：对于任意非零向量，表示与同向的单位向量，对；
D：根据零向量的定义，其方向任意，错.
故选：BC
9．①②④
【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确；
对于②，，，则与反向，，②正确；
对于③，若，则，，
若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示，
此时，，即，③错误；
对于④，三点共线，方向相反，，④正确.
故答案为：①②④.
10．正确
【分析】根据零向量的知识进行分析，从而得出结论.
【详解】由零向量的定义，零向量的模为0，方向任意，
因此它可以被视为与任何向量方向相同或相反，从而与任何向量平行，
所以该说法正确.