高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

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1.已知，当两点的坐标分别满足什么条件时，有成立？
2.设是夹角为的两个单位向量，且，求的值．
3.已知，设，如果，，那么为何值时，二点在一条直线上？
4.已知基底，向量.若以为新基底，求的表达式.
类型一：混淆点的坐标与向量的坐标致错
【错因解读】将求向量的坐标当作求点的坐标，顺序弄错，导致求得答案出错.
【典例引导】已知，当两点的坐标分别满足什么条件时，有成立？
【错误解法】由题意，
错解一：∵，且，
∴当且仅当时．
错解二:∵，
∴，
∴当且仅当时对任意的取值总有成立．
【正确解法】由题意，
已知，令，
则，
∴当且仅当时，成立．
【补救措施】本题的错误在于计算平面向量坐标时，将其看成点的坐标导致出现错误
总结：此类题目要扣住定义，一个平面向量的坐标是用向量终点的坐标减去起点的坐标得到.
【再练一个】
1．已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
类型二：忽略向量坐标确定的条件
【错因解读】忽视只有两个单位向量垂直时，其系数才能表示向量坐标.
【典例引导】设是夹角为的两个单位向量，且，求的值．
【错误解法】由题意，
，
．则．
【正确解法】由题意.
，
.
【补救措施】本题的错误在于题中和是单位向量，但它们并不垂直，只有当单位向量和互相垂直时，才能按上面的方法计算．
总结：只有当平面向量用与轴、轴方向相同的两个单位向量表示时，两向量的系数为该向量的坐标.
【再练一个】
2．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
类型三：忽视平面向量基本定理的使用条件致误
【错因解读】易忽略向量共线时的情况导致漏解.
【典例引导】已知，设，如果，，那么为何值时，二点在一条直线上？
【错误解法】由题设，
知二点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得．
∴有解得：．
综上，.
【正确解法】由题设，
知二点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得．
①若共线，则可为任意实数；
②若不共线，则有解得：．
综上，可知共线时，可为任意实数；不共线时，．
【补救措施】本题的错误在于得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当共线时，可为任意实数这个解．
总结：利用平面向量基本定理用平面内两个向量表示平面内任意向量时，这两个向量需为不共线的两个向量.
【再练一个】
3．已知，，，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
类型四：基底向量顺序混淆导致系数错误
【错因解读】在平面向量基本定理中，基底向量的顺序固定（如先选定基底），则任一向量的分解形式中系数唯一确定.若调换基底顺序（如改为），系数需重新计算，不可直接沿用原系数.
【典例引导】已知基底，向量.若以为新基底，求的表达式.
【错误解法】由题意，
直接调换系数得：.
【正确解法】由题意，
设，
代入原式：.
由向量分解的唯一性得方程组：
故.
【补救措施】本题的错误在于未理解基底顺序与系数的对应关系.基底顺序改变时，系数需通过解方程重新匹配，不可机械调换.
总结：基底顺序隐含系数归属，分解时需严格按基底顺序设系数并解方程.
【再练一个】
4．已知基底 ，向量 .现以为新基底，求的表达式.
（易错点：混淆点的坐标与向量的坐标致错）
5．已知=(2，3)，则点N位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．不确定
（易错点：忽略向量坐标确定的条件）
6．已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件致误）
7．①若，则与，共面；
②与，共面，则；
③若，则，，，四点共面；
④若，，，四点共面，则.
则以上结论中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
（易错点：忽略向量坐标确定的条件）
8．设，为单位向量，，，若，则（ ）
A．B．2C．D．
（易错点：基底向量顺序混淆导致系数错误）
9．已知，以为新基底，求的表达式.
《6.3 平面向量基本定理及坐标表示【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．C
【分析】先根据点求出，由向量只与大小和方向有关，与位置无关可判断.
【详解】点，，
将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化，
.
故选：C.
2．B
【分析】求出，再根据，结合数量积得运算律即可得出答案.
【详解】解：因为，是夹角为的两个单位向量，所以，
则
，
又因，所以，
即与的夹角为.
故选：B.
3．C
【分析】根据向量的坐标的运算性质以及向量共线定理，判断各个选项的向量是否共线即可．
【详解】由题意若两个向量不可以作为平面内所有向量的一组基底，则两个向量共线，
对于，，与不共线，错误，
对于，（4），与不共线，错误，
对于，，与共线，正确，
对于，，与不共线，错误，
故选：．
4．
【分析】根据向量的基底性质求解即可得.
【详解】设，则有，
即，故.
5．D
【分析】根据向量的坐标运算即可判断.
【详解】因为点M的位置不确定，所以点N的位置也不确定.
故选：D.
6．C
【分析】将进行平方，进而通过数量积的定义进行化简，最后求得答案.
【详解】因为，
所以，
故.
故选：C.
7．B
【分析】在①中，由平面向量基本定理得与，一定在同平面内；在②中，如果，共线， 就不一定能用，来表示；在③中，若，则三向量在同一平面内；在④中，若M、P、A、B共线，则不一定成立.
【详解】在①中， ，则由平面向量基本定理得与，一定在同一平面内，故①正确；
在②中，若与，共面，，但如果，共线， 就不一定能用，来表示，故②错误；
在③中，若，则三向量在同一平面内，所以M、N、A、B四点共面，故③正确；
在④中，若M、P、A、B四点共面，且M、P、A、B共线，则不一定成立，故④错误.
故选:B
8．B
【分析】由可得，根据即可得结果.
【详解】由题意得，则，
故，
故选：B.
9．
【分析】根据基底向量性质求解即可得.
【详解】设，
则有，
即，解得，
故.