高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示课后练习题

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1. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2. 下列各组函数与的图象相同的是（）
A．
B．
C．
D．
3. 已知的定义域为，函数的定义域为 ．
4. 已知，则的解析式为 ．
5. 定义域为，则定义域为 .
类型一：函数概念理解
【错因解读】认为“一对一”或“多对一”才是函数
【典例引导】 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【错误解法】由题意，
对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误；
对于B，定义域为，值域为，与条件吻合，正确；
对于C，定义域为，值域为，与条件吻合，正确；
对于D，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误；
故选：BC.
【正确解法】由题意，
对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误；
对于B，定义域为，值域为，与条件吻合，正确；
对于C，一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，错误；
对于D，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误；
故选：B.
【补救措施】本题的错误在于混淆函数与一般关系的区别，忽视“唯一对应”原则.
总结：函数需满足定义域内每个自变量有唯一函数值，图形需通过垂直线测试（任意竖直线与图像最多一个交点）.
【再练一个】
1．下列图形能表示函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二：三要素考虑不全
【错因解读】对三要素理解不清，导致不能抓住定义域，把握值域，确定表达式.
【典例引导】下列各组函数与的图象相同的是（）
A．
B．
C．
D．
【错误解法】由题意，
若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同．
A：的定义域为，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：与的解析式相同，故C正确；
D：与的解析式不相同，故排除D．
故选：BC.
【正确解法】由题意，
若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同．
A：的定义域为，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D．
故选：B.
【补救措施】本题的错误在于没有注意到的定义域是，忽视了同一函数的三要素要相同.
总结：判断两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数．由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．
【再练一个】
2．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
类型三：忽视定义域
【错因解读】没有把握函数的定义域，如根式内不小于0，分式不为0，0的0次方无意义等.
【典例引导】已知的定义域为，函数的定义域为 ．
【错误解法】由题意，
要使函数有意义，须有：
，所以.
所以所求函数的定义域为：.
故答案为：.
【正确解法】由题意，
要使函数有意义，须有：
，所以或.
所以所求函数的定义域为：.
故答案为：
【补救措施】本题的错误在于没有注意到0的0次方没有意义.
总结：要加强对函数的定义域的理解，掌握函数的性质.如根式内不小于0，分式不为0，0的0次方无意义等.
【再练一个】（2027届重庆复旦中学教育集团高一上期期中）
3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
类型四：忽视新变量的范围
【错因解读】使用换元法求解析式、求函数值域时，容易忽略引入新变量的取值范围.
【典例引导】已知，则的解析式为 ．
【错误解法】令，则，所以，即有．
【正确解法】令，则，且，所以，
即．
【补救措施】本题的错误在于没有求解换元后的自变量的范围.
总结：利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件．
【再练一个】
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
类型五：求复合函数定义域
【错因解读】对两种不同类型的复合函数的定义域求解弄混. 直接令原定义域，忽略整体替换逻辑或误将的定义域直接作为定义域.
【典例引导】定义域为，则定义域为 .
【错误解法】由题意，
在中，定义域为，
∴定义域为，
故答案为：.
【正确解法】由题意，
在中，定义域为，
∴，解得：.
故答案为：.
【补救措施】本题的错误在于求定义域时，误认为定义域即为的定义域.
总结：
1.已知定义域，求定义域：的定义域由的值域受限于定义域决定；
2.已知定义域，求定义域：的定义域→范围→定义域.
【再练一个】
5．（1）已知函数的定义域为，求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域.
（易错点：三要素考虑不全）（2027届河南南阳方城一中高一上期10月月考）
6．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
（易错点：忽视定义域）
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：忽视新变量的范围）
8．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：函数概念理解）
9．下列图像中可以表示函数的是（ ）
A．B．C．D．
（易错点：求复合函数定义域）
10．已知函数，则函数的定义域为 ．
《3.1 函数的概念及其表示【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：
1．C
【分析】根据函数的概念进行判断.
【详解】解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，
只有C正确．
故选：C．
2．C
【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。
【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数；
对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数；
对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数；
对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数；
故答案为：C。
【点睛】考查同一个函数的判断方法
3．D
【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.
【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：
，解得或，
故定义域为：
故选：D
4．D
【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.
【详解】因为，
且，或，
当且仅当即时取等.
所以.
故选：D.
5．（1）{，或}；（2）
【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域；
（2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域.
【详解】（1）的定义域为，
要使有意义，须使，即或，
函数的定义域为{，或}.
（2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是，
令，，的定义域为，
函数的定义域为.
6．C
【分析】函数相同当且仅当定义域以及对应法则都相同，由此逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，没有意义，有意义，这表明两个函数的定义域不同，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为全体实数，故B错误；
对于C，，的定义域为，且，，定义域，对应法则都一样，故C正确；
对于D，，，所以它们的对应法则不一样，故D错误.
故选：C.
7．B
【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解.
【详解】由函数的定义域为，
有意义，则得，解得，
有意义，需满足且，即且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
8．B
【分析】利用换元法，令，得且，代入已知函数化简，再将改为，即得函数的解析式.
【详解】令，则，因为，则，
故，
所以．
故选：B．
9．A
【解析】根据函数的定义知，一个自变量的值只能有且只有一个值与之对应，即可求解.
【详解】由图可知，B,C,D四个选项都出现一个对应两个或多个值 ，属于一对多，不是函数.
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数的定义， 函数的图象，属于容易题目.
10．
【分析】先求出的定义域，再根据条件得，即可求解.
【详解】由，得到，所以的定义域为，
又，由，解得，所以的定义域为为，
故答案为：.