高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示课时作业

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\l "_Tc7243" 【题型1 对函数概念的理解】 PAGEREF _Tc7243 \h 1
\l "_Tc12589" 【题型2 求函数的定义域】 PAGEREF _Tc12589 \h 3
\l "_Tc27938" 【题型3 求函数的值域】 PAGEREF _Tc27938 \h 5
\l "_Tc9316" 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 PAGEREF _Tc9316 \h 6
\l "_Tc27753" 【题型5 求函数值或由函数值求参】 PAGEREF _Tc27753 \h 7
\l "_Tc32110" 【题型6 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc32110 \h 9
\l "_Tc14295" 【题型7 函数的表示法】 PAGEREF _Tc14295 \h 11
\l "_Tc1569" 【题型8 分段函数】 PAGEREF _Tc1569 \h 13
【知识点1 函数的概念】
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
【题型1 对函数概念的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【解题思路】根据定义知BD是依赖关系，A是常量，C是确定的函数关系，得到答案.
【解答过程】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；
对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；
对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；
对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合下列表示从到的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】由集合，
对于A中，若，则集合中任意元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合到的函数，符合题意；
对于B中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
对于C中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
对于D中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
故选：A.
【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数的概念结合条件分析即得.
【解答过程】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；
选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.
故选：C.
【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】存在点使一个与两个对应，A错误；当时，没有与之对应的，B错误；的范围超出了集合的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.
【解答过程】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；
对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；
对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D.
【题型2 求函数的定义域】
【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．且
【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【解答过程】依题意，，解得且，
所以函数的定义域为且.
故选：A.
【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.
【解答过程】因为函数的定义域是，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【解答过程】解：因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域为.
故选：C.
【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【解答过程】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
【题型3 求函数的值域】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数的定义域为，则其值域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据定义域，代入解析式，求出值域.
【解答过程】当时，，当时，，
故值域为.
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出函数的定义域，设，求出的值域，再求出的值域即可得解.
【解答过程】由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.
故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=值域相同的是（ ）
A．y=xB．y=C．D．
【解题思路】先得出函数y=值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
【解答过程】函数y=，故其值域为.
对于A，函数y=x的值域为，故A错误；
对于B，函数y=的值域为，故B错误；
对于C，函数，其值域为，故C错误；
对于D，，其值域为，故D正确；
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可．
【解答过程】由的定义域为，，
则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递增，
当，当，
故函数的值域为.
故选：C．
【题型4 由函数的定义域或值域求参数】
【例4】（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意得在R上恒成立，考虑，与两种情况，结合根的判别式进行求解.
【解答过程】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，
当时，满足要求，
当时，要满足，解得：，
综上：.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域与值域相同，则常数（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】易知的定义域为R,得到值域为R,当时，利用分离常数法求得函数值的取值范围，，从而得到的值.
【解答过程】显然，的定义域为R,故值域为R,
值域为，,
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是
A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]
【解题思路】因为函数的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.
【解答过程】函数的图象是开口朝上，
且以直线为对称轴的抛物线，
故，
函数的定义域为,值域为，
所以，
即的取值范围是,
故选D.
【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（ ）
A．B．C．4或D．与的取值有关
【解题思路】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出的值.
【解答过程】函数的值域为，所以区间的长度为.
设的解集为，所以.
因为，且，
所以，解得.
故选：A.
【题型5 求函数值或由函数值求参】
【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数，那么的值（ ）
A．3B．5C．7
【解题思路】把代入解析式即可求解.
【解答过程】.
故选：C.
【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与和的对应关系，根据表格可知的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据表中数据即可先求，再求解即可.
【解答过程】由表中数据可知，所以，
故选：B.
【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知，且，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】令，解得，再根据求解.
【解答过程】解：因为，且，
令，解得，
所以，
解得，
故选：A.
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．10C．9D．11
【解题思路】先由求出，从而可得函数解析式，进而可求出
【解答过程】因为，且，
所以，得，
所以，
所以，
故选：A.
【知识点2 函数的相等】
1．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
2．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a