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数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示学案设计
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这是一份数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示学案设计，共18页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，例3-1，例3-2等内容，欢迎下载使用。
导学目标：
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
（预习教材P67~ P71，回答下列问题）
复习：函数的三要素是 ．
情景：初中我们我们接触过的函数表示方法有哪些？
请分别说明§3．1．1节给出的四个函数分别属于哪种表示方法？
【知识点一】函数的表示法
自我检测1：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成（）的函数为( )
A． B． (x∈R)
C． () D． ()
【知识点二】函数解析式的求法
形如：，用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法；该数学表达式即称为该函数的解析式．
求函数的解析式常见题型有以下几种：
（1）换元法：已知的表达式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；
（2）待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可先设出函数的一般结构式，在构建方程待定系数；
（3）方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
自我检测2：函数，，是否可以表示同一个函数，为什么？
【知识点三】分段函数
形如：，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
自我检测3：画出函数的图像，观察图像有何特点？
【知识点四】复合函数
已知函数与函数，我们把函数，叫做与的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数。
自我检测4：写出下列两个函数的复合形式，并指出内、外层函数．
（1） （2）
题型一 函数的表示法
【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．通过你的所得，你能说出各个方法的优缺点吗？
题型二 函数解析式的求法
【例2】求下列函数的解析式
（1）已知，求的解析式．
（2）已知,求的解析式．
（3）若是一次函数，且满足，求的解析式．
（4）已知满足，求的解析式．
题型三 分段函数
【例3-1】设，
（1）求 ．
（2）若，求实数的值．
【例3-2】给定函数，，，
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)对任意，用表示，中的较大者，记为．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数．
题型四 复合函数
【例4】写出下列两个函数的复合形式，并求该复合函数的定义域．
（1） （2）
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
2．已知函数，则等于( )
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则的值为________． 当时，________．
4．设，则________．
5．求下列函数的解析式
（1）已知，求函数的解析式．
（2）已知函数对于任意x都有，求函数的解析式．
（3）已知,求二次函数的解析式．
§3．1．2 函数的表示方法参考答案
导学目标：
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
（预习教材P67~ P71，回答下列问题）
复习：函数的三要素是定义域、值域、对应法则．
情景：初中我们我们接触过的函数表示方法有哪些？
请分别说明§3．1．1节给出的四个函数分别属于哪种表示方法？
问题一（解析法）；问题二（解析法）；问题三（图像法）；问题四（列表法）．
【知识点一】函数的表示法
自我检测1：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成（）的函数为( )
A． B． (x∈R)
C． () D． ()
答案：D
【知识点二】函数解析式的求法
形如：，用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法；该数学表达式即称为该函数的解析式．
求函数的解析式常见题型有以下几种：
（1）换元法：已知的表达式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；
（2）待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可先设出函数的一般结构式，在构建方程待定系数；
（3）方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
自我检测2：函数，，是否可以表示同一个函数，为什么？
答案：函数与函数，可以表示同一个函数，函数则是不同的函数．
【知识点三】分段函数
形如：，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
自我检测3：画出函数的图像，观察图像有何特点？
【知识点四】复合函数
已知函数与函数，我们把函数，叫做与的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数。
自我检测4：写出下列两个函数的复合形式，并指出内、外层函数．
（1） （2）
答案：（1）令（内层），（外层），复合形式为．
（2）令（内层），（外层），复合形式为．
题型一 函数的表示法
【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．通过你的所得，你能说出各个方法的优缺点吗？
答案：(1)列表法：
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
三种表示方法的优缺点比较
题型二 函数解析式的求法
【例2】求下列函数的解析式
（1）已知，求的解析式．
答案：令2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2)．
∴f(t)＝6×eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2．
∴f(x)＝3x＋2．
（2）已知,求的解析式．
答案：令,,则,
．．
（3）若是一次函数，且满足，求的解析式．
答案：因为是一次函数，可设()，
所以有，即，
因此应有，解得．
故的解析式是．
（4）已知满足，求的解析式．
答案：因为，
所以用替换得，
即 消去得
所以．
题型三 分段函数
【例3-1】设，
（1）求 ．
（2）若，求实数的值．
答案：，
【例3-2】给定函数，，，
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)对任意的，用表示，中的较大者，记为．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数．
答案：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象（图1）．
图1 图2
(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)．
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．解得x＝－1，或x＝0．
结合图2，得出函数M(x)的解析式为．
题型四 复合函数
【例4】写出下列两个函数的复合形式，并求该复合函数的定义域．
（1） （2）
答案：（1）定义域为；（2）定义域为
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
答案：D
2．已知函数，则等于( )
A．0 B．eq \f(1,3)
C．1 D．2
答案：C
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f(g(1))的值为________． 当g(f(x))＝2时，x＝________．
答案：1 1
4．设，则________．
答案：
5．求下列函数的解析式
（1）已知，求函数的解析式．
答案：令，则，，
（2）已知函数对于任意的x都有，求函数的解析式．
答案：在，以－x代x可得，联立可得，消去可得
（3）已知,求二次函数的解析式．
答案：设,
则,,所以：
所以,解得所以．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
优点
缺点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象法
直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
导学目标：
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
（预习教材P67~ P71，回答下列问题）
复习：函数的三要素是 ．
情景：初中我们我们接触过的函数表示方法有哪些？
请分别说明§3．1．1节给出的四个函数分别属于哪种表示方法？
【知识点一】函数的表示法
自我检测1：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成（）的函数为( )
A． B． (x∈R)
C． () D． ()
【知识点二】函数解析式的求法
形如：，用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法；该数学表达式即称为该函数的解析式．
求函数的解析式常见题型有以下几种：
（1）换元法：已知的表达式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；
（2）待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可先设出函数的一般结构式，在构建方程待定系数；
（3）方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
自我检测2：函数，，是否可以表示同一个函数，为什么？
【知识点三】分段函数
形如：，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
自我检测3：画出函数的图像，观察图像有何特点？
【知识点四】复合函数
已知函数与函数，我们把函数，叫做与的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数。
自我检测4：写出下列两个函数的复合形式，并指出内、外层函数．
（1） （2）
题型一 函数的表示法
【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．通过你的所得，你能说出各个方法的优缺点吗？
题型二 函数解析式的求法
【例2】求下列函数的解析式
（1）已知，求的解析式．
（2）已知,求的解析式．
（3）若是一次函数，且满足，求的解析式．
（4）已知满足，求的解析式．
题型三 分段函数
【例3-1】设，
（1）求 ．
（2）若，求实数的值．
【例3-2】给定函数，，，
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)对任意，用表示，中的较大者，记为．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数．
题型四 复合函数
【例4】写出下列两个函数的复合形式，并求该复合函数的定义域．
（1） （2）
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
2．已知函数，则等于( )
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则的值为________． 当时，________．
4．设，则________．
5．求下列函数的解析式
（1）已知，求函数的解析式．
（2）已知函数对于任意x都有，求函数的解析式．
（3）已知,求二次函数的解析式．
§3．1．2 函数的表示方法参考答案
导学目标：
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
（预习教材P67~ P71，回答下列问题）
复习：函数的三要素是定义域、值域、对应法则．
情景：初中我们我们接触过的函数表示方法有哪些？
请分别说明§3．1．1节给出的四个函数分别属于哪种表示方法？
问题一（解析法）；问题二（解析法）；问题三（图像法）；问题四（列表法）．
【知识点一】函数的表示法
自我检测1：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成（）的函数为( )
A． B． (x∈R)
C． () D． ()
答案：D
【知识点二】函数解析式的求法
形如：，用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法；该数学表达式即称为该函数的解析式．
求函数的解析式常见题型有以下几种：
（1）换元法：已知的表达式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；
（2）待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可先设出函数的一般结构式，在构建方程待定系数；
（3）方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
自我检测2：函数，，是否可以表示同一个函数，为什么？
答案：函数与函数，可以表示同一个函数，函数则是不同的函数．
【知识点三】分段函数
形如：，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
自我检测3：画出函数的图像，观察图像有何特点？
【知识点四】复合函数
已知函数与函数，我们把函数，叫做与的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数。
自我检测4：写出下列两个函数的复合形式，并指出内、外层函数．
（1） （2）
答案：（1）令（内层），（外层），复合形式为．
（2）令（内层），（外层），复合形式为．
题型一 函数的表示法
【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．通过你的所得，你能说出各个方法的优缺点吗？
答案：(1)列表法：
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
三种表示方法的优缺点比较
题型二 函数解析式的求法
【例2】求下列函数的解析式
（1）已知，求的解析式．
答案：令2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2)．
∴f(t)＝6×eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2．
∴f(x)＝3x＋2．
（2）已知,求的解析式．
答案：令,,则,
．．
（3）若是一次函数，且满足，求的解析式．
答案：因为是一次函数，可设()，
所以有，即，
因此应有，解得．
故的解析式是．
（4）已知满足，求的解析式．
答案：因为，
所以用替换得，
即 消去得
所以．
题型三 分段函数
【例3-1】设，
（1）求 ．
（2）若，求实数的值．
答案：，
【例3-2】给定函数，，，
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)对任意的，用表示，中的较大者，记为．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数．
答案：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象（图1）．
图1 图2
(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)．
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．解得x＝－1，或x＝0．
结合图2，得出函数M(x)的解析式为．
题型四 复合函数
【例4】写出下列两个函数的复合形式，并求该复合函数的定义域．
（1） （2）
答案：（1）定义域为；（2）定义域为
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
答案：D
2．已知函数，则等于( )
A．0 B．eq \f(1,3)
C．1 D．2
答案：C
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f(g(1))的值为________． 当g(f(x))＝2时，x＝________．
答案：1 1
4．设，则________．
答案：
5．求下列函数的解析式
（1）已知，求函数的解析式．
答案：令，则，，
（2）已知函数对于任意的x都有，求函数的解析式．
答案：在，以－x代x可得，联立可得，消去可得
（3）已知,求二次函数的解析式．
答案：设,
则,,所以：
所以,解得所以．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
优点
缺点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象法
直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
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