人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式综合训练题

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1.已知，则函数的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知，求最大值.
3.已知，且，，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
4.已知两个正实数，满足，求的最小值.
类型一：变量不是正数致误
【错因解读】对于基本不等式，常常忽略不等式使用的条件——变量均为正数
【典例引导】已知，则函数的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【错误解法】由题意，
在中，
，
故选：B.
【正确解法】由题意，
因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值为.
故选：C.
【补救措施】本题的错误在于没有注意基本不等式成立的前提条件.
总结：基本不等式应用必须满足变量均为正数（若含参需先讨论符号）
【再练一个】
1．当时，函数（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最大值4D．有最小值4
类型二：忽略和或积非定值
【错因解读】未构造定值而是直接放缩.
【典例引导】已知，求最大值.
【错误解法】由题意，
，和并非常数.
【正确解法】由题意，
由（定值），得：
，
当且仅当即时，等号成立，
∴函数最大值为.
【补救措施】本题的错误在于没有构造最值，即函数的和并非常数.
总结：无定凑定值，拆项配凑保平衡.
【再练一个】
2．已知，求的最大值；
类型三：没有进行化简
【错因解读】没有利用配凑法得出基本不等式的表达式.
【典例引导】已知，且，，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
【错误解法】由题意，
无法求解.
【正确解法】由题意，
，，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
【补救措施】本题的错误在于没有配凑出基本不等式形式.
总结：对于一些求最值问题，需要用凑配法得出两个未知量，然后运用基本不等式求解.
【再练一个】（2027届湖南湘潭高一上期期末）
3．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
类型四：多次放缩
【错因解读】连续应用基本不等式求最值时，没有注意各不等式取等号时的条件是否一致.
【典例引导】已知两个正实数，满足，求的最小值.
【错误解法】由已知得，所以，所以最小值是2.
【正确解法】因为，当且仅当且，即时取等号，所以，即最小值为.
【补救措施】本题的错误在于两次使用基本不等式，其中等号成立必须满足，而的等号成立时，必须有，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的.
总结：
1.连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.
2.对于给定一个等式，求分式的基本不等式问题，要学会用“1”，即将等式乘以代数式.
【再练一个】（2027届甘肃甘南藏族自治州合作藏族中学高一上期期末）
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（易错点：没有进行化简）
5．已知函数，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．7
（易错点：变量不是正数致误）
6．已知，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（易错点：多次放缩）
7．已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．12
（易错点：变量不是正数致误）
8．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为2
（易错点：忽略和或积非定值）（2027届河北唐山志嵘高中高一10月月考）
9．利用基本不等式求以下最值：
(1)若，求的最大值；
(2)已知，且，求的最小值；
(3)求在时的最小值．
《2.2 基本不等式【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.
【详解】，，
，当且仅当时等号成立，
故选：A
2．
【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件.
【详解】∵，∴，
∴，
∴当且仅当，
即时，．
3．C
【分析】运用基本不等式计算即可.
【详解】由题意得，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为3．
故选：C.
4．D
【分析】运用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
5．D
【分析】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】由题意，，故，根据基本不等式，，
当且仅当，即时等号成立．
此时函数的最小值为7.
故选：D.
6．C
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值为.
故选：C.
7．C
【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值．
【详解】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
8．C
【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误.
9．(1)12；
(2)6；
(3)．
【分析】（1）（2）（3）根据题设前提条件，应用基本不等式求积、和及分式型目标式的最值.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为12．
（2），则
即，解得或（舍），
当且仅当且，即时等号成立，
的最小值为6．
（3），
令，则，
所以，化为，
而，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为．