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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示表格教案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示表格教案,共7页。

    《函数的概念》教学设计
    教学环节
    教学内容
    师生互动
    设计意图
    新课引入



    回顾初中学习的函数概念,分析教材第60页问题1,思考:有人说“根据对应关系,这趟列车加速到350 km/h后,运行1h就前进了350
    km.”你认为这个说法正确吗?
    师:提出问题:
    (1)初中学过的函数概念是什么?
    (2)学过哪几类函数?
    (3)思考:“根据对应关系,这趟列车加速到350 km/h后,运行1h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗?
    生:思考,回忆初中学习的函数概念及类型,回答教师的问题.
    师生:不能判断列车以350
    km/h运行半小时后的情况,因为没有关注到的变化范围.


    通过回顾初中学习的函数概念,结合问题1的思考题,引起学生的学习兴趣,同时给学生一种潜意识:函数问题首先要考虑自变量的取值范围(即定义域),为下面进一步认识函数的概念做铺垫.

    合作探究
    教材第60页问题1
    某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程(单位:km)与运行时间(单位:h)的关系可以表示为什么?

    教材第61页问题2
    某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资(单位:元)是他工作天数的函数吗?



    教材第61~62页问题3和问题4.

    师:问题1中和的变化范围是什么?你能用集合表示出来吗?
    生:的变化范围是数集
    ,的变化范围是数集.
    师:与之间满足什么关系?
    生:.
    师:你能用集合与对应的语言来表示问题1中与的对应关系吗?
    生:思考、尝试回答.
    师生:列车行进的路程与运行时间的对应关系是:①.
    其中,的变化范围是数集,的变化范围是数集.对于数集中的任意时刻,按照对应关系①,在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
    师:分析问题2,引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的依赖关系.
    生:工资与一周工作天数的对应关系是:.②
    其中,的变化范围是数集
    ,的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数,按照对应关系②,在数集中都有唯一确定的工资和它对应.
    师:问题1和问题2中的函数有什么异同点?
    生:相同的对应关系,但两个变量的范围不一样.
    师:你认为它们是同一个函数吗?为什么?
    生:不是,因为相应的变量的范围不一样.
    师:布置任务:仿照问题1、2,描述问题3、4中两变量间的关系.
    生:学生探讨交流,教师巡查、指导.
    师:提出问题:通过对4个问题的分析,你能说出它们有什么不同点与共同点吗?
    师生:学生认真思考并口答教师提出的问题,在教师的启发、点拨下,学生一般能归纳出以下一些特点:
    不同点:问题1.2是用解析式刻画两变量之间的对应关系,问题3是用图象刻画变量之间的对应关系,问题4是用表格刻画变量之间的对应关系.
    共同点:①都有两个非空的实数集:②两个实数集之间都有一种确定的对应关系.
    教师板书学生提出的这两条共同点,指出解析式、图象、表格都是一种对应关系.






    通过具体数学实例,提高学生的参与程度,着重向学生渗透集合与对应的观点,启发学生用集合和对应的语言描述两个变量之间的依赖关系,突破难点,提升学生数学抽象素养.

    概念形成
    函数的概念:
    设,是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作
    ,.
    其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然值域是集合的子集.
    师:通过对前面4个问题的分析,鼓励学生自己概括出函数的定义.
    生:认真体会4个问题的共同点,然后归纳概括出函数的定义并在全班进行交流.
    师:(1)板书函数的定义;
    (2)强调:①对的理解:作为一个整体,它是一种符号,它可以是解析式(如问题1、2),也可以是图象(如问题3),也可以是表格(如问题4).②定义中,是非空的实数集.③对于的每一个值,按照某种确定的对应关系,都有唯一的值和它对应.
    利用前面的分析,进行必要的抽象概括,得到函数的定义,培养学生的归纳、概括能力,提升数学抽象素养.同时剖析概念,使学生抓住概念本质,便于理解记忆.

    应用举例
    1.一次函数的定义域为,值域也为,对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
    2.二次函数的定义域为,值域是.当时,;当时,
    .对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
    3.反比例函数的定义域为,值域为,对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
    4.例 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它反映了两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.
    试构造一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式来描述.
    解:把看成二次函数,那么它的定义域是,值域是.对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
    师:想一想,初中我们学过了哪些函数?
    生:一次函数、二次函数和反比例函数.
    师:你能说一说,这三个函数的定义域、值域和对应关系分别是什么吗?
    生:思考,回答,其他同学补充.
    师:试构造一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式来描述.如果再对的取值范围作出限制,比如呢?
    生:尝试构建一些问题情境,然后相互交流、讨论.
    师:针对学生的回答进行点评.

    引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数,比较描述性定义与对应语言刻画的定义,加深对函数概念的理解.







    引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型,以及通过函数解析式去构建问题情境,加深对函数概念的理解.提升学生数学抽象及数学建模素养.

    归纳小结
    1.函数的概念.
    2.三要素.
    学生思考、回答,其他同学补充,教师记录、点评.

    布置作业
    1.教材第63页练习:第1题.
    2.教材第64页练习:第4题.


    板书设计
    第1课时 函数的概念
    1.函数的概念
    2.函数三要素
    定义域
    对应关系
    值域
    问题1
    问题2
    问题3
    问题4


    小结
    1.函数的概念
    2.三要素

    作业

    教学研讨
    教材通过集合语言和对应关系刻画函数概念,并建立完整的函数概念,为什么要强调函数是非零实数集合之间的对应关系呢?这个问题有没有必要跟学生解释清楚呢?如果有必要,那什么时候解析比较恰当呢?这些都是值得课后继续探讨的问题.
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