数学选择性必修 第一册空间向量及其运算课堂检测

这是一份数学选择性必修 第一册空间向量及其运算课堂检测，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习112空间向量的数量积运算原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习112空间向量的数量积运算答案版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
【自主学习】
一．空间向量的夹角
1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ．
2.a，b为非零向量，＝，a与b的夹角的范围是 。
当＝0时，a与b ；
当＝π时，a与b ；
当＝eq \f(π,2)时，a与b ．
二．空间向量数量积
1.概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，
即a·b＝|a||b|．
解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c = ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
3.性质及应用
4.运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律).
解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )
(3)对于非零向量a，b，与相等．( )
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－ eq \f(1,2) ，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【经典例题】
题型一 数量积的计算
点拨：空间向量的数量积运算方法
1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|求解．
例1 (1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋ eq \r(13) C．4 D．13
(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练】1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))； (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))； (3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))； (4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).

题型二 用数量积证明垂直问题
点拨：用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．
例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
【跟踪训练】 2 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系
为_______．(填“平行”或“垂直”)
题型三 用数量积求角度
点拨：利用向量求异面直线夹角的步骤
例3 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
【跟踪训练】 3 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
题型四 用数量积求长度
点拨：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq \r(a·a)求解即可．
例4 如图，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【跟踪训练】4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
【当堂达标】
1.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．±1 D．2
2.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．eq \r(97) B．97 C．eq \r(61) D．61
3.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_________.
4.已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，则λ＝________．
5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．
6.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为eq \r(2).
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为eq \f(π,3)，求侧棱的长．
【参考答案】
【自主学习】
一．1.夹角 2.[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π
二．1.|a||b| 2. 3.a·b＝0 eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) 4.λ(a·b) b·a a·b＋a·c
【小试牛刀】
1.√ × √ √ × ×
2.B 解析：设向量a，b的夹角为θ，则＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－ eq \f(1,2) ，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
【经典例题】
例1 (1) D 解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cs 120°＝2×4－2×5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) ＝13.
(2) A解析：由题意知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.
【跟踪训练】1 解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
例2 【证明】 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝eq \r(2).
eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs 60°
＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝1.∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC.
【跟踪训练】2 垂直 解析：∵eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，
∴AD与BC垂直．
例3 90° 解析：不妨设棱长为2，则eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→))，
cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))〉＝eq \f(（\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))）·（\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0。
【跟踪训练】 3 解：设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝ eq \f(1,2) .
又∵ eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (a＋b)， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) c－b，
∴ eq \(OE,\s\up6(→)) · eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－b)) ＝ eq \f(1,4) a·c＋ eq \f(1,4) b·c－ eq \f(1,2) a·b－ eq \f(1,2) |b|2＝－ eq \f(1,2) .
又| eq \(OE,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(3),2) ，| eq \(BF,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴cs 〈 eq \(OE,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(BF,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(BF,\s\up6(→))|) ＝－ eq \f(2,3) ，
∵异面直线夹角的范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为 eq \f(2,3) .
例4 7 解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cs 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．
【跟踪训练】4 解 因为eq \(AC1,\s\up6(-→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→))，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→)))．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cs 60°＋2×3×cs 60°)＝23.
因为eq \(AC,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＝|eq \(AC1,\s\up6(→))|2，所以|eq \(AC1,\s\up6(-→))|2＝23，
则|eq \(AC1,\s\up6(-→))|＝eq \r(23)，即AC1＝eq \r(23).
【当堂达标】
1.A 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cs 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq \r(61).
3. 60° 解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(1,2) ，所以＝60°.
4.－eq \f(3,2)解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
∴18＋(λ＋1)×3eq \r(2)×4cs 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－eq \f(3,2).
5. eq \f(3－2\r(2),5) 解析：因为 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→))
＝| eq \(OA,\s\up6(→)) |·| eq \(AC,\s\up6(→)) |·cs〈 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉－| eq \(OA,\s\up6(→)) |·| eq \(AB,\s\up6(→)) |·cs〈 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) 〉
＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°＝24－16 eq \r(2) .
所以cs〈 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(24－16\r(2),8×5) ＝ eq \f(3－2\r(2),5) ，所以异面直线OA与BC的夹角的余弦值为 eq \f(3－2\r(2),5) .
6.(1)证明 eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
∵BB1⊥平面ABC，∴eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
∵eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝eq \(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝|eq \(BC1,\s\up6(→))|.
∴cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\(BB1,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,2)，
∴|eq \(BB1,\s\up6(→))|＝2，即侧棱长为2.
1.1.2 空间向量的数量积运算
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.设a、b为空间中的任意两个非零向量,有下列各式:
①a2=|a|2;②a·ba2=ba;③(a·b)2=a2·b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2.若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．120° B．60°
C．30° D．45°
4.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13) C．4 D．13
5.(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积为0的是( )
A.eq \(AD1,\s\up6(-→))·eq \(B1C,\s\up6(-→)) B.eq \(BD1,\s\up6(-→))·eq \(AC,\s\up6(→)) C.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD1,\s\up6(-→)) D.eq \(BD1,\s\up6(-→))·eq \(BC,\s\up6(→))
6.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a＋b|＝________.
7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则B1C·A1P＝________ ，B1C与A1P所成角的大小为 ________.
8.如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为( )
A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(5) D.eq \r(6)
10.若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能
11.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12.设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|