人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用第1课时当堂检测题

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【学习目标】
【自主学习】
一．空间中点、直线和平面的向量表示
二．直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的方向向量有 个．
2.平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量．
解读：（1）法向量不能为零向量；（2）法向量与平面内任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.
三．空间中平行关系的向量表示
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( )
(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.( )
(3)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→)).( )
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )
2.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(－1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
3.设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
【经典例题】
题型一 求平面的法向量
点拨：求平面法向量的步骤
1.设法向量n＝(x，y，z)；
2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
3.建立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，,n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；))
4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
【跟踪训练】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
题型二 证明线线平行
点拨：证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性；
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
例2 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)，eq \f(1,2) C．－3,2 D．2,2
题型三 证明线面、面面平行
点拨：1.向量法证明线面平行的思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u,即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
【跟踪训练】3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【当堂达标】
1.(多选)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体，则( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
2.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2) C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq \f(15,2)
3.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l⊂α C．l⊥α D．l⊂α或l∥α
4.已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．
5.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，且l∥α，则m＝________.
6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
【课堂小结】
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
3.直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．
【参考答案】
【自主学习】
一．eq \(OP,\s\up8(→)) eq \(OP,\s\up8(→)) eq \(OA,\s\up8(→))＋ta eq \(OA,\s\up8(→))＋teq \(AB,\s\up8(→)) xa＋yb eq \(OA,\s\up8(→))＋xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→))
二．平行或共线 无数 方向向量
三．u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
【小试牛刀】
1.(1) √ (2)√ (3) √ (4)√
2.A解析： eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，1，3)，所以与 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的向量都可以充当直线l的方向向量．
3.4解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而 eq \f(1,－2) ＝ eq \f(3,－6) ＝ eq \f(－2,k) ，解得k＝4.
【经典例题】
例1 解：如图所示建立空间直角坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，B(1,1,0)，
于是eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(DE,\s\up6(→))，n⊥eq \(DB,\s\up6(→))，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))
取x＝1，则y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．
【跟踪训练】1解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由题意知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0，－1)．
∵n⊥eq \(AB,\s\up6(→))，n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\(BC,\s\up6(→))＝x－z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y，,x＝z.))令x＝1，则y＝z＝1.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
例2 证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，eq \(PQ,\s\up8(→))＝(－3,2,1)，eq \(RS,\s\up8(→))＝(－3,2,1)，
∴eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \(RS,\s\up8(→))，∴eq \(PQ,\s\up8(→))∥eq \(RS,\s\up8(→))，即PQ∥RS.
法二：eq \(RS,\s\up8(→))＝eq \(RC,\s\up8(→))＋eq \(CS,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up8(→))－eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up8(→))，
eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \(PA1,\s\up8(→))＋eq \(A1Q,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up8(→))－eq \(DA,\s\up8(→))，
∴eq \(RS,\s\up8(→))＝eq \(PQ,\s\up8(→))，∴eq \(RS,\s\up8(→))∥eq \(PQ,\s\up8(→))，即RS∥PQ.
【跟踪训练】2 A解析：若a∥b，则2μ－1＝0且eq \f(λ＋1,6)＝eq \f(2,2λ)，解得μ＝eq \f(1,2)且λ＝2或λ＝－3，故选A.
例3 思路点拨：方法1：可证明eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))是共面向量；方法2：可证明eq \(MN,\s\up6(→))与平面A1BD中的DA1是共线向量；方法3：可通过平面A1BD的法向量来证明．
证明：方法1：∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(C1N,\s\up6(→))－eq \(C1M,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(B1B,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(A1B,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1B1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(A1B,\s\up6(→))，
∴eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(A1B,\s\up6(→))是共面向量．
又∵MN⊄平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD．
方法2：∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(C1N,\s\up6(→))－eq \(C1M,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(C1B1,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(C1C,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(D1A1,\s\up6(→))－eq \(D1D,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(DA1,\s\up6(→))，∴eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(DA1,\s\up6(→))．
又∵MN⊄平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD．
方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
设正方体的棱长为1，则可求得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1))，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋z＝0，,x＋y＝0.))
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵eq \(MN,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq \(MN,\s\up6(→))⊥n．
又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
【跟踪训练】3 证明 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以eq \(FC1,\s\up6(-→))＝(0,2,1)，eq \(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥eq \(DA,\s\up6(→))，n1⊥eq \(AE,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(DA,\s\up6(→))＝2x1＝0，,n1·\(AE,\s\up6(→))＝2y1＋z1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,z1＝－2y1，))
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为eq \(FC1,\s\up6(-→))·n1＝－2＋2＝0，所以eq \(FC1,\s\up6(-→))⊥n1.
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为eq \(C1B1,\s\up6(-→))＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥eq \(FC1,\s\up6(-→))，n2⊥eq \(C1B1,\s\up6(-→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(FC1,\s\up6(-→))＝2y2＋z2＝0，,n2·\(C1B1,\s\up6(-→))＝2x2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝0，,z2＝－2y2.))
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【当堂达标】
1.ABC 解析：因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，1，0)，所以C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．
2.D解析：由l1∥l2得，eq \f(2,3)＝eq \f(4,x)＝eq \f(5,y)，解得x＝6，y＝eq \f(15,2).
3.D 解析：∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
4. l⊂α或l∥α 解析：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l⊂α或l∥α.
5.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))＝2＋eq \f(1,2)m＋2＝0.解得m＝－8.
6.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))．
因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(eq \f(a,2)，eq \f(a,2)，0)，
所以eq \(EG,\s\up6(→))＝(eq \f(a,2)，0，－eq \f(a,2))．又eq \(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(EG,\s\up6(→))，这表明PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))，eq \(EB,\s\up6(→))＝(a，eq \f(a,2)，－eq \f(a,2))，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\(EB,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)y＋z＝0，,ax＋\f(y,2)－\f(z,2)＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋z＝0，,2x＋y－z＝0.))
令y＝－1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,z＝1.))所以n＝(1，－1,1)，又eq \(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，
所以n·eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥eq \(PA,\s\up6(→)).所以PA∥平面EDB.
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间向量与平行关系
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
2.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
3.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A．－eq \f(10,3) B．6 C．－6 D.eq \f(10,3)
4.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
5.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
6.已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,2,1)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．
7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值？
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.求证：CM∥平面PAD.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是( )
(1,1，eq \f(1,2)) B．(1，eq \r(2)，1)
C. (1,1,1) D．(2，－2,1)
10.若平面α，β的一个法向量分别为m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,3)，－1)) ，n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3)) ，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α∥β或α与β重合 D. α⊥β
11. (多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是( )
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
13.若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．
14.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为( )
A.(1,1,1) B.23,23,1
C.22,22,1 D.24,24,1
15.四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ eq \f(1,2) PD.
求证：PC∥平面BAQ.
16.如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？
【参考答案】
1.D解析 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.
2.A 解析：由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,故选A.
3.B 解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴eq \f(2,4)＝eq \f(3,λ)＝eq \f(－1,－2).∴λ＝6.
4. C 解析 显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·n＝0，,b·n＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))
分别验证各选项可知，只有C项符合．
5.B解析 对于B，eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，4，－\f(1,2)))，则n·eq \(AP,\s\up8(→))＝(3,1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，4，－\f(1,2)))＝0，∴n⊥eq \(AP,\s\up8(→))，则点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))在平面α内．
6.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))) 解析 设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0,4x＋5y＋3z＝0,x2＋y2＋z2＝1))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝－\f(2,3)，,z＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3),y＝\f(2,3)，,z＝－\f(2,3)))所以平面ABC的单位法向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))).
7. 解 ∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使eq \(AP,\s\up6(→))＝k1eq \(AB,\s\up6(→))＋k2eq \(AC,\s\up6(→))，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k1＋6k2＝－2；,k1＋4k2＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－4；,k2＝1.))
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8.证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
因为PC⊥平面ABCD，
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
所以∠PBC＝30°.
因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4，
所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
所以＝(0，－1,2)， ＝(2，3,0)， ＝.
设＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
由 得
取y＝2，得x＝－，z＝1，所以＝(－，2,1)是平面PAD的一个法向量.
因为，
所以，又平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
9.A 解析 eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,－x＋y＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))∴n＝(2,2,1)．又(1,1，eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)n，∴A正确．
10.C 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
11.ACD 解析 连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误．由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．
12.B解析 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵A1M＝AN＝eq \f(\r(2),3)a，eq \(MB,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(A1B,\s\up8(→))，eq \(CN,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up8(→))，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(2a,3)，a))，∴eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴eq \(C1D1,\s\up8(→))＝(0，a,0)，∴eq \(MN,\s\up8(→))·eq \(C1D1,\s\up8(→))＝0，∴eq \(MN,\s\up8(→))⊥eq \(C1D1,\s\up8(→)).∵eq \(C1D1,\s\up8(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
13.1 解析 由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.
14.C 解析：连接OE.设点M的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O22,22,0,
又E(0,0,1),A(2,2,0),所以OE=-22,-22,1,AM=(x−2,y−2,1),
因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x-2=−22,y-2=−22⇒x=22,y=22,所以M点的坐标为22,22,1.
故选C.
15.证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度， eq \(DA,\s\up6(→)) 为x轴的正方向建立空间直角坐标系．
根据题意， eq \(DA,\s\up6(→)) ＝(1，0，0)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，0，1)， eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝(0，1，0)，
故有 eq \(DA,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0， eq \(DA,\s\up6(→)) · eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(DA,\s\up6(→)) 为平面BAQ的一个法向量．
又因为 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(0，－2，1)，且 eq \(DA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
16. 解：（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，得，
点M在线段上，且，点N在线段上，设，，
设，则，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.
∴在线段上存在一点N，满足平面，且的值为. 课程标准
学科素养
1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．
2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)
3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
点P的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 表示，我们把向量 称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \(AB,\s\up8(→))＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up8(→))＝ ，也可以表示为eq \(OP,\s\up8(→))＝ .这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式
设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OP,\s\up8(→))＝ .那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up8(→))＝ ，这就是空间平面ABC的向量表示式.
线线平行
设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔ ⇔
线面平行
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔
⇔
面面平行
设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔ ⇔