高中数学空间向量及其运算综合训练题

这是一份高中数学空间向量及其运算综合训练题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测112空间向量的数量积运算原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测112空间向量的数量积运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
知识点三 向量a的投影
向量a在向量b上的投影向量：|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)．
【题型目录】
题型一、数量积的计算
题型二、 投影向量
题型三、利用数量积证明垂直问题
题型四、利用数量积求模
题型五、利用数量积求夹角
题型一、数量积的计算
1．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
题型二、 投影向量
3．设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
题型三、利用数量积证明垂直问题
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
求证：PA⊥BD.
8．已知平行六面体的各棱长均为1，且．
求证：．
9．如图，四棱锥的各棱长都为．用向量法证明．
题型四、利用数量积求模
10．如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求．
11．在正四棱台中，，，，设，，，则向量______（用，，表示），______．
题型五、利用数量积求夹角
12．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
1．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
2．如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为______.
3．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；
5．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，且侧棱底面．试利用空间向量的方法解决下列问题：
（1）设侧棱长为1，求证：；
（2）设与的夹角为，求侧棱长．
6．如图，在平行六面体中，．求：
(1)；(2)的长；(3)的长．
7．如图，在正方体中，设，M，N分别是，的中点．
(1)求异面直线与MC所成角的余弦值；
(2)设P为线段AD上任意一点，求证：．
8．已知正四面体的棱长为1，，，，分别是棱，，，的中点，设，，，用向量法解决下列问题．
(1)求；
(2)求直线与所成的角．
1．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（ ）
A．B．平面ABCD
C．D．三棱锥外接球的表面积是
8．（多选）设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.
10．已知与的夹角，则向量在向量方向上的投影为___________.
11．在四棱锥中，四边形为正方形，，且底面，则向量在平面上的投影向量是 ， .
12．如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段．又知，，，则求CD的长为___．
13．已知单位正方体，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
14．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
15．如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
16．已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求：
(1)；
(2)向量与的夹角.
17．已知与的夹角为.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模长.
18．已知向量与向量的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量.
19．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
20．如图，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起．
(1)若与成角，求；
(2)判断与能否互相垂直，给出你的结论并加以证明．定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).