人教A版 (2019)空间向量及其运算同步测试题

这是一份人教A版 (2019)空间向量及其运算同步测试题，共31页。
考点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
考点二 空间向量的数量积
考点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型归纳】
题型一：空间向量的数量积的运算
1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）．
A．6B．C．3D．
2．如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A．1B．C．9D．3
3．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
题型二：求空间向量的数量积
4．如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12B．8C．6D．4
5．如图，已知正方体，设，，，则（ ）.
A．B．C．D．
6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）
7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．在平行六面体中，，，，，则（ ）
A．B．C．0D．
题型四：空间向量的数量积的综合
10．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)求；(2)求．
11．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.
12．平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【双基达标】
一、单选题
13．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
15．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
16．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5B．C．D．
17．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ）
A．B．C．或D．3或
19．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（ ）
A．B．C．D．
20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（ ）
A．B．3C．D．2
21．如图，在单位正方体中，设，，，求：
(1)；(2)；(3)．
22．如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【高分突破】
一：单选题
23．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
24．在平行六面体中，其中，，，则（ ）
A．25B．5C．14D．
25．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（ ）
A．B．C．D．
26．在正方体中，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角是120°D．正方体的体积为
27．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
二、多选题
28．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
29．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
30．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（ ）
A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为
31．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若直线与交于点O，则
32．四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ）
A．B．
C．D．
33．判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若，，，是空间任意四点，则有．
34．如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
35．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
36．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.
37．已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.
38．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
39．已知O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则最小值为______．
四、解答题
40．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．
(1)用，，表示，并求；
(2)求．
41．如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
42．三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，求的长.
43．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
44．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
（1）试用、、表示；
（2）求的长度.
45．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x、y、z的值．
（2）求AC1的长．
46．如图所示，点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，为的中点.
（1）求满足的实数，，的值；
（2）若，，求的长.
47．如图，正四面体的高的中点为，的中点为.
（1）求证：，，两两垂直；
（2）求.
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
【答案详解】
1．B
【详解】∵，∴
∴，即AC1的长为.故选：B
2．D
【详解】在平行六面体中，有，，
由题知，，，，，
所以，，与的夹角为，
与的夹角为，与的夹角为，
所以
.所以.故选：D.
3．B
【详解】对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.故选：B.
4．B
【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】
故选：B
5．D
【分析】利用求出，再求出，则根据可得答案.
【详解】设正方体的棱长为1，
因为所以，
又，，
又，故选：D.
6．D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，
则，，，
所以.故选：D
7．D
【分析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，则
.故选：D.
8．B【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为是平行六面体，所以，
所以有：，因此有：
，
因为，，，，，
所以，所以，故选：B
9．C
【分析】结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，则，即，
,则
，即，
则故选：C.
10．(1)(2)
【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；
（2）先表示出，再按照数量积运算求解.
(1)，
，， ，
， 即有；
(2)．
11．(1)(2)
【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.
(1)，，故，所以的长为；
(2)
，由（1）知：，
设直线与所成角为∴，
∴直线与所成角的余弦值为.
12．(1)；(2).
【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
(1)，，，
，
∴，
；
(2)∵，，
∴，
∵，∴，
∵＝8，∴，设与所成的角为，则.
13．A
【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.故选：．
14．D
【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】由题意得，
故.故选：D.
15．C
【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为,所以
，所以，故选：C
16．C
【分析】先求的平方后再求解即可.
【详解】，
故，故选：C
17．C
【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.
【详解】因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为1，所以，
故．故选：C．
18．A
【分析】取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得.
【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，
∴ME∥BC，且，∥AD，且，
∵向量与向量的夹角为，∴向量与向量的夹角为，又，
∴，
∴，即线段长为.故选：A.
19．D
【分析】用表示，然后计算数量积．
【详解】由已知，因为，，
所以，，
．故选：D．
20．B
【分析】选定为基向量，利用向量数量积的计算法则求解即可.
【详解】
设，由题意得：，，
.故选：B.
21．(1)0(2)1(3)3
【分析】由题意，，根据向量的数量积的运算性质可得答案.
(1)在单位正方体中，由题意，
所以
(2)
(3)
22．(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
(1)因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以.
(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
23．A
【分析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为2的正方形，侧棱，且，
则 ，，，，，，则
，故选：A.
24．B
【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以
，所以，
故选：B.
25．B
【分析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设，因为平面，所以，，，，
又底面是正方形，所以，，
对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，，所以数量积最大的是，故选：B.
26．D
【分析】根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可.
【详解】正方体 如图所示，
对于A选项，，，故 A 正确；
对于B选项， ，在平面内的投影为，
又因为，即，故B正确；
对于C选项，为等边三角形，
，向量与的夹角是，故 C 正确；
对于D选项，，，故D显然错误.
故选：D
27．B
【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而得出，再根据向量的数量积运算，即可求出的值.
【详解】解：，，，
，，，
由图可知，，
，
所以的值为.故选：B.
28．ABD
【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可．
【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设.
，
，故A正确；
，故B正确；
∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；
由图易知，故＝0，故D正确.故选：ABD．
29．AB
【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.
【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：
由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴，故0，故D错误．故选：AB．
30．BD
【分析】取基底，由空间向量数量积及其性质直接计算可得.
【详解】设，，，则，，，
，，，
，，
所以．故选：BD.
31．AB
【分析】根据空间向量的线性运算、空间向量的数量积和模的运算即可求得答案.
【详解】对A，由题意，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由题意可知，，
则
，D错误.故选：AB.
32．BD
【分析】利用正四面体的结构特征逐项分析计算即可判断作答.
【详解】依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，，，A不是；对于B，，，B是；对于C，因是的中点，则，而，，C不是；对于D，因是的中点，则，，D是.故选：BD
33．AD
【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D
【详解】对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；对于C：当互相垂直时，C错误；对于D：根据向量的加法法则可知：，故,故D正确；故选：AD
34．CD
【分析】对于A：由，可判断；对于B：由空间向量的线性运算得，从而有，，由此可判断；对于C：由空间向量的数量积运算可判断；对于D：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．
【详解】解：对于A：在平行六面体中，有，，故A错误；对于B：，，，，又，∴，故B错误；
对于C：，，
由题知，，，，，所以，，故C正确；
对于D：，，
．所以．故D正确，故选：CD．
35．
【分析】如图，在正三棱锥中，以为基底， ，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.
【详解】
根据题意为正四面体，两两成角，所以，
，所以
.故答案为：
36．
【分析】由，借助模长公式得出的长.
【详解】因为
所以
即故答案为：
37．
【分析】利用空间向量的数量积的运算律及模长公式即求.
【详解】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，∴，
∴.故答案为：.
38．
【分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.
【详解】由题意，二面角等于，可得向量，，
因为，可得,
所以
.故答案为：
39．
【分析】由已知设，，，求出向量，的坐标，代入空间向量的数量积运算公式，再根据二次函数的性质，可得到满足条件的的值，进而得到最小值．
【详解】，点在直线上运动，设，，
又向量，，，，，，，
则
易得当时，取得最小值为．故答案为：
40．(1)，(2)0
【分析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，
（2）先把用基底表示，然后化简求解
(1)因为，，，,
所以，
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以
(2)因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以
41．或.
【分析】根据，由向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到长.
【详解】，四边形为平行四边形，，，；
与成角，或；
；
当时，，解得：；
当时，，解得：；的长为或.
42．(1)(2)
【分析】（1）根据题意，结合空间向量的加减法与数乘运算，即可求解；
（2）根据题意，结合空间向量数量积的求法，求出，即可求解.
(1)由题图知，，因为，，
所以，，故.
(2)根据题意，由，，，
得，即，
由（1）知.
43．(1)(2)
【分析】（1）利用，然后，最后计算即可.
（2）根据（1）的条件，先平方后开方计算即可.
(1)由题可知：，点E为的中点
所以，
所以所以
(2)由（1）可知，且，，
所以
所以
44．（1）；（2）.
【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与、、的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】（1）.
（2），，
∴.
45．（1）；（2）.
【分析】（1）首先，又且，
代入化简整理即可．（2），求其平方后再开方即可．
【详解】（1）所以
（2）∵，
∴
46．（1），，；（2）.
【分析】（1）取的中点，连接，利用几何图形中各线段所代表的空间向量，结合空间向量加减法的几何意义将转化为的线性表达式，即可知，，的值；
（2）由已知条件，结合（1）的结论求的模，即为的长.
【详解】（1）取的中点，连接，则
，
∴，，.
（2）∵，，且，，，
又，
∴，故的长为.
47．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设，，，正四面体的棱长为1，将，，用，，表示，然后证明数量积为即可求证；
（2）利用，，表示和，计算，和，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】设，，，正四面体的棱长为1，
（1）因为，
，
，
，
所以
，所以，即.
同理，，，所以，，两两垂直.
（2），
所以，又，
，
所以，又，所以.