高中数学人教A版 (2019)必修 第一册指数函数的图象和性质课后复习题

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1.指数函数的定义及图像
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．

图2-3-1 图2-3-2
(4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示．
2.指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
1)若；若；若；
2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【题型目录】
题型一：指数函数的概念
题型二：指数函数的图像
题型三：指数函数的定点
题型四： 指数函数的奇偶性、单调性
题型五：利用指数函数性质比较大小
题型六：解指数函数不等式
题型七：指数函数的值域问题
题型八：指数函数的解答题
【典型例题】
题型一：指数函数的概念
【例1】函数是指数函数，求的值．
【答案】
【解析】因为函数是指数函数，所以，解得
【例2】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】由指数函数的定义可知
【例3】下列函数式中，满足的是( )
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】因为，所以
【题型专练】
1.下列函数是指数函数的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于A，函数不是指数函数，对于B，函数是指数函数；
对于C，函数是指数函数；对于D，函数不是指数函数.故选：BC.
2.下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】③
【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可
【详解】① 的系数不是，不是指数函数；
② 的指数不是自变量，不是指数函数；③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．故答案为：③
3.若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】由题意可得，解得.
故选：C.
4.若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【答案】；2．
【详解】根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2．
题型二：指数函数的图像
【例1】已知,则函数的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【答案】A
【详解】由图象可知函数向下平移超过1个单位，所以必不经过第一象限
【例2】在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】讨论时和时，函数的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】当时，为指数函数，且递减，为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；当时，为指数函数，且递增，为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,故选：B
【例3】函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
【答案】C
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象判断.
【详解】解：在同一坐标系中，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知：函数与函数的图象关于原点对称，
故选：C
【例4】如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】，时，时，.故选：B.
【例5】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【详解】指数函数在第一象限内的图象底大图高可知
【例6】已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
【答案】CD
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
故选：CD．
【题型专练】
1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．
2.函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】解析 ，函数为偶函数，且过，，
函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.
3.函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再对和时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断；
【详解】解：因为定义域为，又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；
当时，，，所以，所以，故排除D；
当时，因为，所以，即，故排除C；
故选：A
4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.
【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.
5．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图像.
【详解】∵，又，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当且时，函数必过定点 .
【答案】
【详解】法一：必过定点，将向右平移2个单位得到，所以必过定点，将向下平移3个单位得到，所以函数必过定点
法二：令，得到，所以，所以函数必过定点
【例2】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【答案】4
【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
【题型专练】
1.函数的图像恒过定点______.
【答案】
【详解】 ，令，得，，
函数的图象恒过定点，
故答案为：.
2.函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；
【详解】解：令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
题型四： 指数函数的奇偶性、单调性
【例1】判断函数的奇偶性
【答案】奇函数
【详解】的定义域为，因，所以为奇函数
【例2】设函数是偶函数，则实数a的值为________．
【答案】
【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得
【例3】若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，因与分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以①，又因②，由①②解得，所以为增函数，所以
【例4】已知，则下列正确的是（ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
【答案】A
【详解】因，所以为奇函数，因为增函数，为减函数，所以为增函数，所以在R上为增函数
【例5】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，解得，设，此函数为减函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数，在为增函数（符合函数单调性：同增异减）
【例6】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【答案】D
【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，解得，因为在上为增函数，所以，解得，综上可知。
【例7】已知函数，如果对任意，恒成立，则满足条件的的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因所以在上为奇函数，并且为减函数，
所以，
所以，所以在上恒成立，所以，
当时，，所以，解得。
【例8】已知函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】因所以在上为奇函数，并且为减函数，因
，设，则在上为奇函数，并且为减函数，所以，所以，，
即，解得。
【题型专练】
1.已知函数是偶函数，则__________．
【答案】
【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得
2.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数在R上是减函数，所以，所以，所以
3.已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【答案】.
【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
【详解】函数的定义域为R.因为，
所以，所以，即是奇函数.
因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.
所以可化为.
所以，解得：或.故答案为：.
4.函数的单调递减区间是 .
【答案】
【详解】设，此函数为增函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数（符合函数单调性：同增异减）
5.已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即可得选项.
【详解】由题意知函数，令，则，
∴的定义域为，，∴函数为奇函数．
又，∴在上单调递增．由，得，即，∴，∴，即．故选：B．
6.已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.故选：AC.
7.已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因，设，则在上为偶函数，并且为增函数，所以，因为为增函数，所以，，即，解得。
题型五：利用指数函数性质比较大小
【例1】判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【详解】
（1）因为在上为增函数，且，所以
（2）因为，且在上为减函数，且，所以
（3）因为，，，所以
【例2】设eq \f(1,3)