高中数学人教A版 (2019)必修 第一册无理数指数幂及其运算性质一课一练

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1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂； ②零指数幂；
③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
(6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点：
①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则；
③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零．
⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：
例：；．
⑥指数的逆运算过程：．
2.指数运算中的平方差、立方和差公式
,
【典型例题】
题型一：根式指数式的运算
【例1】化简求值:
（1）； （2）．
【例2】 .
【例3】（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.已知，，，且，则______．
2.计算：
（1）______；
（2）______．
3.设，，求的值．
4．求值.
5．化简：
（1）______；
（2）______．
题型二：平方差、立方差（和）公式运用
【例1】已知求的值．
【例2】若则 .
【例3】已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．（注：立方和公式）
【题型专练】
1．已知函数，若，则＝（ ）
A．12B．14C．16D．20
2.（1）已知，计算：；
题型三：指数式运算应用题
【例1】企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
【例2】某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ）
A．15hB．30hC．40hD．60h
【例3】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． 小时B．小时C．小时D．小时
【例4】Lgistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（ ）
A．60B．C．D．
【例5】一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）
A．5B．9C．6D．8
【题型专练】
1.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A．18倍B．倍C．倍D．倍
2.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ）
A．125天B．100天C．75天D．50天
3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A．B．C．D．
4．国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）
A．B．C．D．
5．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．16小时B．18小时C．20小时D．24小时
6．有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50B．53C．60D．66
7．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（ ），（参考数据：，）
A．B．C．D．