人教A版必修第一册高一数学上册同步讲与练第四章 指数函数与对数函数 单元检测（2份，原卷版+解析版）

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第四章 指数函数与对数函数单元检测第I卷（选择题）一、单选题1．函数的定义域是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列出使函数有意义的不等式组，进而即得.【详解】要使函数有意义，则,解得且，所以函数的定义域为.故选：C.2．已知函数，若，则（       ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由即可求出，则可求出的值.【详解】当时，，无解，当时，，所以，故选：B.3．设，，则是（       ）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.4．设函数则满足的实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：①当时和②当时，由单调性解不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．5．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得函数当时为减函数，再根据偶函数的对称性，结合的大小关系判断即可【详解】因为当时，对任意的不相等实数总有成立，故当时为减函数，又偶函数，且，，故，故故选：D6．设函数，则使得成立的的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性及单调性即得.【详解】因为的定义域为R，又，所以函数是偶函数，又函数在是增函数，所以函数在是增函数，由，可得．所以.故选：A．7．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.【详解】因为函数 在上单调递减，所以函数在上单调递增，且在上恒成立，所以，解得.故选：B8．已知函数，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即可得选项.【详解】由题意知函数，令，则，∴的定义域为，，∴函数为奇函数．又，∴在上单调递增．由，得，即，∴，∴，即．故选：B．二、多选题：9．关于函数，下列说法正确的是（       ）A．定义域为（－1，4） B．最大值为2C．最小值为－2 D．单调递增区间为【答案】ACD【分析】令，解不等式可判断A；在定义域内求出的值域，可求出的值域可判断B，C；根据复合函数的单调性可判断D.【详解】令，得，即函数的定义域为，故A正确；∵，∴，∴，故B错误，C正确；令，则其在，上单调递增，在上单调递减，又在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性得的单调递增区间为，故D正确．故选：ACD．10.已知函数，则（       ）A．在单调递增B．在单调递增，在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】BC【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.【详解】函数的定义域满足 ，即，即函数的定义域是，∵，设，则函数在单调递增，在单调递减，又函数单调递增，由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；因为,,所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；又，，所以，所以D错误．故选：BC．11.已知，，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A、D可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B，利用分析法来判断；对于C，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假.【详解】对于A，，，且，，即，当且仅当时，等号成立，A正确；同理对于D，，即，当且仅当时，等号成立，D正确；对于B，利用分析法：要证，只需证：，即证，，，且，，，B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，C错误；故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：12.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】当时，，解得，于是得：，当时，，解得，于是得，所以的解集为．故答案为：13.已知函数，若且，则的取值范围为___________.【答案】【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】画出的图象如图：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由图象得在上为减函数，∴，∴的取值范围是.故答案为：.14.若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）【答案】【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.【详解】在上严格增，所以 ，不妨设，因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，，也能构成三角形三边长，所以，因为，所以，因为对任意都成立，所以，所以，所以，所以，所以m的最大值为．故答案为：.四、解答题：15.已知函数，函数．(1)求函数的值域；(2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）化简后由对数函数的性质求解（2）不等式恒成立，转化为最值问题求解(1)．故的值域为．(2)∵不等式对任意实数恒成立，∴．．令，∵，∴．设，，当时，取得最小值，即．∴，即故的取值范围为16.已知函数．(1)判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析，(2)【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.（1）在上单调递增，证明如下：设，；，，又，，，在上单调递增.（2），为上的奇函数，由得：，由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；当时，，在上恒成立；令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.17.已知函数．(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．（2）因为在内单调递增，所以在内单调递减且恒正，所以，解得．故实数m的取值范围为．18.已知函数，为非零常数．(1)当时，求的值；(2)当时，试判断函数的单调性，并说明理由；(3)当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)单调增函数，理由见解析，(3)【分析】（1）将代入解析式，利用对数恒等式可求得函数值；（2）利用函数单调性定义判断，解决该问题的关键是正确化简的式子，从而判断正负，得到函数的单调性；（3）依题意不等式对恒成立，根据函数的单调性与奇偶性，将问题转化为对恒成立，则，解得即可．(1)解：， ，，时，的值为；(2)解：函数在定义域上为单调增函数．理由如下：时，对恒成立，函数的定义域为，任取且，，，，   ，，，，，，，，，函数在为单调增函数．(3)解：当时， ，由（2）知函数在为单调增函数，函数的定义域为，关于原点对称， 又，函数为上的奇函数，由不等式对恒成立得，  等价于 对恒成立，对恒成立，对恒成立，解得 ．实数的取值范围是 ．19.已知函数（，）是奇函数.(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；(2)设（，），若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据定义域为R及奇函数性质求参数t，可得的解析式并判断出单调性，根据，将不等式转化为在恒成立，即可求范围；（2）先用表示函数，根据求得的解析式，根据单调性利用换元法求得的值域，结合对数的定义域求的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在的取值范围内能否取到最大值0.(1)由题设，，解得，故，而，解得，所以在R上单调递减且，所以等价于，即，所以在恒成立，整理可得，由对勾函数的性质知：，所以.(2)不存在实数，理由如下：，因为，代入得，解得或(舍)，所以，易知在R上为单调递增函数，令，当时，，所以，对于，在上恒成立，即在上，令，，所以，即，又，所以 ，对于二次函数：开口向上且对称轴为，所以对称轴位于的左侧，即在内单调递增，所以，，假设存在满足条件的实数且，则当时，为减函数，，即，解得舍去，当时，为增函数，，即，解得舍去，综上，不存在实数满足条件成立.