第二章 专题强化练5 隐圆问题（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

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专题强化练5　隐圆问题1.已知直线l1:x-my-2=0(m∈R)与直线l2:mx+y-2=0交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,O为坐标原点,则|AB|的最大值为(　　)A.32　　　　 B.52　　　　C.5+22　　　　D.3+222.已知△ABC是底边BC长为2的等腰直角三角形,D是平面ABC内一点,且DB∶DC=3∶1,则△ABD面积的最大值是(　　)A.3+62　　　　 B.3-62C.32+232　　　　D.32-2323.已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为(　　)A.[1,1+22]　　　　B.[1−22,1+22]C.(1,1+22)　　　　D.[1−2,1+2]4.(多选题)若A,B是平面内不重合的两定点,动点P满足|PA||PB|=k(k>0,k≠1),则点P的轨迹是一个圆,该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿波罗尼斯圆.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA||PB|=2,点P的轨迹为圆C,则(　　)A.圆C的方程为(x-5)2+y2=16B.设P(m,n),则m2+n2-6m-8n的最大值为20C.若点P不在x轴上,圆C与线段AB交于点Q,则PQ平分∠APBD.PA·PB的最大值为725.已知点A(2,2),B(4,2m),点P在直线x-y+2=0上,若满足PA·PB=2的点P有两个,则实数m的取值范围为　　　　　　　. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为　　　　. 7.已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上两个不同的点,且PM·PN=0.(1)求线段MN的中点S的轨迹方程;(2)若PQ=PM+PN,求|PQ|的最小值.8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,4)与直线l:y=x-1,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若点P(2,2)在圆C上,求圆C的方程;(2)若圆C上存在点M,使得3|MO|=|MA|,求圆心C的横坐标的取值范围.答案与分层梯度式解析专题强化练5　隐圆问题1.C　由题意可得直线l1过定点(2,0),直线l2过定点(0,2),记M(2,0),N(0,2).由1×m+(-m)×1=0知l1⊥l2,又直线l1与l2交于点A,∴点A在以MN为直径的圆上,且此圆的圆心为(1,1)(记为C),半径r1=2,故点A的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2(x≠0且y≠0).圆(x+2)2+(y+3)2=2的圆心为(-2,-3)(记为D),半径r2=2,∴|CD|=(-2-1)2+(-3-1)2=5>r1+r2=22,∴圆C与圆D外离,∴|AB|的最大值为|CD|+r1+r2=5+22.故选C.2.A　取BC的中点O,连接OA,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0).设D(x,y),因为DB∶DC=3∶1,所以(x+1)2+y2=3(x-1)2+3y2,即(x-2)2+y2=3,所以点D的轨迹是以(2,0)为圆心,3为半径的圆.易得直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=2.设圆心(2,0)到直线AB的距离为d,则点D到直线AB的最大距离为d+3=|2-0+1|2+3=32+232,所以△ABD面积的最大值为12×2×32+232=3+62.故选A.3.B　设M(x,y),由|MA|2+|MB|2=12,得(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,整理得(x-1)2+(y-1)2=4,∴点M的轨迹(记为圆C')方程为(x-1)2+(y-1)2=4.又点M在圆C上,∴圆C和圆C'相交或相切,∴1≤(a-1)2+1≤3,即|a-1|≤22,∴1-22≤a≤1+22.故选B.解后反思　对于定点A,B,若动点M满足|MA|2+|MB|2=a(a>0),则动点M的轨迹一般为圆.4.ACD　设P(x,y),由|PA||PB|=2得(x+3)2+y2(x-3)2+y2=4,即(x-5)2+y2=16,故A正确.m2+n2-6m-8n=(m-3)2+(n-4)2-25,故m2+n2-6m-8n表示圆C上的点P到点(3,4)的距离的平方减去25.易得圆C上的点P到点(3,4)的距离的最大值为(5-3)2+(0-4)2+4=4+25,所以(m-3)2+(n-4)2-25的最大值为165+11,故B不正确.易得Q(1,0),所以|AQ||BQ|=|PA||PB|=2,所以PQ平分∠APB,故C正确.因为PA·PB=|PA|·|PB|·cos∠APB,|PA||PB|=2,所以PA·PB=2|PB|·|PB|·cos∠APB,当PA,PB同向共线时,cos∠APB=1,且|PB|有最大值6,所以PA·PB的最大值为PA·PB=2|PB|·|PB|=12×6=72,故D正确.故选ACD.5.答案　(-∞,-2-23)∪(23-2,+∞)解析　设P(x,y),则PA=(2−x,2−y),PB=(4-x,2m-y).由PA·PB=2,得(2-x)(4-x)+(2-y)(2m-y)=2,整理得(x-3)2+(y-m-1)2=m2-2m+4,易知m2-2m+4>0恒成立,所以点P的轨迹为圆,其方程为(x-3)2+(y-m-1)2=m2-2m+4,记此圆为圆C.又点P在直线x-y+2=0上,所以直线x-y+2=0与圆C相交,故|3-(m+1)+2|2