第二章 平面解析几何之直线和圆的方程（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

这是一份第二章 平面解析几何之直线和圆的方程（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019），文件包含第二章平面解析几何之直线和圆的方程A卷·知识通关练解析版docx、第二章平面解析几何之直线和圆的方程A卷·知识通关练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
班级 姓名 学号 分数
第二章 平面解析几何之直线和圆的方程（A卷·知识通关练）
核心知识1 坐标法
1．（2022·北京房山·高二期末）已知点，则线段的中点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点，
则线段的中点坐标为，即.
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式．
【解析】设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，则，所以，因为在函数的图像上，所以，则，即，所以的解析式为，；
3．（2022·全国·高二课时练习）已知是一个长方形，且M是所在平面上任意一个点，求证：．
【解析】因为是长方形，故以为坐标原点，建立如下所示平面直角坐标系：

则，不妨设的坐标为，则，设
故
，
故=，即证.

核心知识2 直线的倾斜角与斜率
4．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
【答案】         
【解析】因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
5．（2022·上海市控江中学高二期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.
【答案】1
【解析】因为直线l经过点､，
所以直线l的斜率是，
故答案为：1
6．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
7．（2022·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由斜率的定义知，.
故选：D.
8．（多选题）（2022·重庆八中高一期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（       ）
A．－8 B．－5 C．3 D．4
【答案】AD
【解析】由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，

时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
9．（多选题）（2022·湖南·怀化五中高二期中）在下列四个命题中，错误的有（　　）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
【答案】ABD
【解析】对于A，
倾斜角为的直线斜率不存在
所以A错误
对于B
直线的倾斜角的取值范围为
所以B错误
对于C
因为且，所以
所以C正确
对于D
倾斜角为的直线斜率不存在
所以D错误
故选：ABD

核心知识3 直线方程的五种形式
10．（2022·上海市进才中学高二期中）已知点､，则线段AB的方程是___________.
【答案】
【解析】因为点､，
所以直线AB的方程是，即，
所以线段AB的方程是，
故答案为：
11．（2022·上海市大同中学高二期中）已知直线l经过原点，且与直线y＝x＋1的夹角为45°，则直线l的方程为______．
【答案】或
【解析】直线的斜率为，倾斜角为，
直线与直线的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或
12．（2022·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.
【答案】，
【解析】显然直线的斜率存在且不为，设：
令，则；令，则
依题意，
解之得或
当时，：
当时，：
故答案为：，
13．（2022·贵州遵义·高二期末（理））直线过点，则a的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为直线过点
所以将点代入直线方程得：，解得：.
故选：A.
14．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
15．（2022·全国·高二期中）已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（       ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，
故直线方程为或，
即或.
故选：C.
16．（2022·全国·高二期末）已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得：，故，解得：.
故选：C
17．（2022·湖南·怀化五中高二期中）求符合下列条件的直线l的方程：
(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；
(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；
(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.
【解析】(1)所求直线过点，且斜率为，，即.
(2)所求直线过，
，
，即.
(3)当直线过原点时，设直线方程为，
直线过点，
，直线方程为，即2x－3y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式得，，解得，
故直线的方程为，
综上，直线方程为或.

核心知识4 两条直线的位置关系
18．（2022·全国·高二期中）讨论下列直线的位置关系：，．
【解析】令，解得或，
当时，，，两直线重合，
当时，，，两直线平行，
当且时，两直线相交．
19．（多选题）（2022·云南普洱·高二期末）已知直线，则（       ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】直线，则，
由，得，所以恒过定点，所以A错误；
由可得：，所以，B正确；
由可得：，，所以C错误；
由，当时，，不过第三象限；
当时，，不过第三象限，只需要，解得，
所以的取值范围为，所以D正确；
故选：BD.
20．（2022·重庆长寿·高二期末）若直线：与：垂直，则实数（          ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，则
故选：D．
21．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）直线与直线的位置关系是（       ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
【解析】直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
22．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
【解析】由直线 与直线互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
23．（2022·全国·高二期末）设，直线，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.

核心知识5 直线的距离公式
24．（2022·广东汕尾·高二期末）点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，
点到直线的距离，，
所以，解得：或，
所以点的坐标为或.
故选：A
25．（2022·江苏江苏·高二期中）已知直线和直线，则与之间的距离是（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由平行线间的距离公式得
故选 ：A
26．（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
27．（2022·安徽省六安中学高二期中（文））已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____.
【答案】【解析】由于直线与直线平行，
所以，
直线即，
所以两平行直线间的距离为.
故答案为：
28．（2022·安徽省六安中学高二期中（文））已知的三个顶点，，，求：
(1)边所在的直线方程；
(2)的面积.
【解析】(1)，直线方程为，即．
(2)，
边上的高为，
所以．
29．（2022·北京十五中高二期中）已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【解析】(1)当a=1时，，
所以两直线的距离为；
(2)若，
则，
解得；
(3)原点到直线的距离为
，
当时，

核心知识6 对称问题
30．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，
所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，
则，得，
即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，
即．
31．（2022·江苏连云港·高二期中）已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
【解析】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
点代入方程可得，即l：．
在直线l上取两点和，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
32．（2022·四川·邻水实验学校高二期中（理））已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．
【解析】（1）设A′(x，y)，
则解得即A′.
（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
33．（2022·吉林油田高级中学高二期中）已知点P与点关于直线对称，则点P的坐标为_______.
【答案】
【解析】由题可知该直线是线段PQ的垂直平分线，设，
则解得
故答案为：(3，0).
34．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线关于直线对称的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程得，即直线与直线的交点为
设直线的点关于直线对称点的坐标为，
所以，解得
所以直线关于直线对称的直线过点，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为，即
故选：C
35．（2022·安徽宿州·高二期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，因为点与点关于直线对称，
所以，解得，
所以
故选：B
36．（2022·全国·高二期中）与直线关于坐标原点对称的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
37．（2022·江苏·无锡市第一女子中学高二期中）两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立方程，解得，
在直线上任取一点，其关于的对称点为，
则直线关于直线对称的直线方程为，即
故选：D.

核心知识7 直线中的范围与最值问题
38．（2022·湖北·沙市中学高二期中）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则的最小值为___________；当的面积最小时，直线的方程是_______________
【答案】     .     .
【解析】由题意，设直线为且，
∴，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
，当且仅当时等号成立，
∴，整理得.
故答案为：，.
39．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）已知直线：.
(1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值.
【解析】(1)由变形得，则设直线过，要使点到直线距离最大，则满足，，则，直线方程为，即；
(2)由题知，，，令得，即，令得，即，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4.
40．（2022·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线方程为，其中.
(1)求直线恒过定点的坐标.当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
(2)若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.
【解析】(1)直线方程为，
可化为对任意都成立，
所以，解得，所以直线恒过定点.
设定点为，当变化时，时，
点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即，此时直线过点且与垂直，
∴，解得故直线的方程为
(2)由于直线经过定点.直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点∴，，解得.
∴
当且仅当时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为：，即：.
41．（2022·浙江温州·高二期中）已知直线l：，（）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得，

当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以.
(2)设直线l为，因为在直线上，所以.
又，所以，两边同时平方得：，，当且仅当，即，时取等号，所以的面积为，此时直线方程为，化简得：.
42．（2022·北京·101中学高二期末）已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________．
【答案】
【解析】定点，点在直线上运动，
当线段最短时，就是直线和直线垂直，
的方程为：，它与联立解得，
所以的坐标是，
所以，
故答案为：．
43．（2022·贵州黔西·高二期中（文））已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为___________.
【答案】
【解析】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，

则，解得.所以.
当，C，B，四点共线时，
的周长最小，且最小值为.
故答案为：.
44．（2022·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为________．
【答案】5
【解析】如图，设点关于轴的对称点为，则，
所以，
所以动点R到两个定点，的距离之和的最小值为的长，
因为，
所以x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为5，
故答案为：5

45．（2022·四川·双流中学高二期中（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________
【答案】
【解析】

设点关于直线：的对称点为
线段的中点在上
则
又，

解得，

故答案为：
46．（2022·全国·高二课时练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
47．（2022·安徽·马鞍山二中高二期中）已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】可化为：
设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：x+y-2=02x-3y+1=0
可得：为直线的定点
则有：，此时为点P到直线l的最大距离
若在直线上，则有：，即
可得：不可能在直线上，则有：
综上可得：
故选：A
48．（2022·四川南充·高二期末（理））设，其中.则的最小值为（       ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【解析】设，
则表示：，
又直线AB与y轴相交于点，
所以，
所以，当点P为时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
49．（2022·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是.
故选：A
50．（2022·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知两点，点在直线上，则的最小值为（       ）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【解析】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
51．（2022·广东·广州市第十六中学高二期中）已知直线和点，，若直线上存在点使得最小，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，易得点，在直线的同一侧.
设点关于直线的对称点为，则，解得，故.
因此，当、、 三点共线时，等号成立.
故选：C.
52．（2022·江苏·高二期中）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（       ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，

由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D

核心知识8 圆的方程
53．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）（1）求过点A(2，5)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
（2）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆心在第二象限，半径长为4，求圆的一般方程．
【解析】（1）解法1：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝，即5x－2y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，即x－y＝a，
又∵l过点A(2，5)，∴2－5＝a，a＝－3，∴l的方程为x－y＋3＝0，
综上所述，直线l的方程是5x－2y＝0或x－y＋3＝0．
解法2：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－5＝k(x－2)，
当x＝0时，y＝5－2k，当y＝0时，x＝2－．
根据题意得5－2k＝－（2－），解方程得或k＝1．
当时，直线方程为y－5＝(x－2)，即5x－2y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－5＝1×(x－2)，即x－y＋3＝0．
综上所述，直线l的方程是5x－2y＝0或x－y＋3＝0．
（2）圆心C，因为圆心在直线x＋y－2＝0上，所以，即D＋E＝－4.①
又因为半径长，所以D2＋E2＝40.②
由①②可得
又因为圆心在第二象限，所以，即D>0．则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－6y－6＝0．
54．（2022·四川巴中·高二期中）已知方程表示圆.
(1)求的取值范围.
(2)求该圆半径的最大值.
【解析】(1)因方程表示圆，
则有，整理得：，
解得，而，则有或，
所以的取值范围是或.
(2)由(1)知或，圆的半径，
当且仅当，即或时取“=”，
所以圆半径的最大值为.
55．（2022·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程为______．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为；
圆心关于直线对称的点为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
56．（2022·上海市崇明中学高二期中）圆心为，半径为3的圆的标准方程为_________.
【答案】
【解析】由题可先设出圆的方程：，
再圆心为点，r=3代入圆的方程可求出则圆的方程为：
故答案为：
57．（2022·上海金山·高二期中）过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是_____.
【答案】
【解析】由，得，
所以直线 与直线 的交点为，
所以圆的半径为，
所以所求圆的标准方程为，
故答案为：
58．（2022·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．
【答案】
【解析】圆，即
所以所求圆的圆心坐标为，半径为
所以圆的方程为．
故答案为：．
59．（2022·重庆·高二期末）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.
故答案为：
60．（2022·天津红桥·高二期末）若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______．
【答案】
【解析】设圆上任意一点的坐标为
可得：，
则有：，即
解得：
故答案为：
61．（2022·四川达州·高二期末（文））经过点，，的圆的方程为______.
【答案】
【解析】设所求圆的方程为，则
，解得D=-1E=-1F=0，
所以圆的方程为，即，
故答案为：
62．（2022·全国·高二期中）方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【解析】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
63．（2022·福建宁德·高二期中）某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为圆经过两点，
所以圆心在中垂线上，
联立解得圆心，所以圆的半径，
故所求圆的方程为，
故选：D
64．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（          ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
65．（2022·河北唐山·高二期中）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（       ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【解析】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，
则圆心坐标为（－，－1），半径为
因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，
所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，k＝4．
所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.
故选：C．
66．（2022·安徽省六安中学高二期中（文））已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.
故选：B
67．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A

核心知识9 轨迹方程
68．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
69．（2022·湖北十堰·高二期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________
【答案】
【解析】设点的坐标为，点，
为的中点，的坐标为，
，解得，
点满足
，即，
故点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点的轨迹方程为：．
故答案为：
70．（2022·江苏泰州·高二期末）已知，动点满足，则点的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】，
由题意得，所以
整理可得，即.
故答案为：.
71．（2022·河北唐山·高二期中）已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．
(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；
(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
【解析】(1)法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是．
由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，
所以，
于是有，．   ①
因为点P在圆上运动，
所以点P的坐标满足圆的方程，即． ②
把①代入②得．
整理，得＝4．
这就是点M的轨迹E的方程．
法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．
(2)∵l过原点O且不与y轴重合，
∴可设直线l的方程为y＝kx．
联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，
依题意知是上方程的两根，则＝＝．
则＝＝＝故是定值．
72．（2022·湖北·沙市中学高二期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】(1)设,则，，故，两边平方得：
(2)当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
73．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知坐标平面上动点与两个定点、，且，设动点的轨迹为曲线.
(1)若直线与曲线交于、两点，求的长；
(2)若点与动点所连线段上有一点，满足，求点的轨迹方程.
【解析】(1)，
，即，所以，
化简为，所以，曲线是以点为圆心，半径的圆，
圆心到直线的距离，所以，.
(2)设、，则，，
因为，则，
即，可得，
因为，所以，，化简得，
所以点E的轨迹方程为.
74．（2022·江苏苏州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点，的距离之比为，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为___________；若轨迹C上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是___________.
【答案】         
【解析】设动点，由P到，的距离之比为，
∴，则，整理得：，
故轨迹C的方程为；
∴轨迹C是以为圆心，半径的圆，则C到的距离为，
∴当时，圆上恰有3个点到直线的距离为1，若圆C上有且只有四个点到直线的距离为1，则，解得，
∴实数m的取值范围为.
故答案为：；.
75．（2022·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
【解析】(1)设，由题意，得：
，
化简得，
所以点的轨迹方程为
(2)方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：


核心知识10 直线与圆的位置关系
76．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______．
【答案】     1    
【解析】依据题意，作出图形，如下图：


因为直线过点且与圆相切于点A，
所以，所以，
要使得最小，则要最小，
由题可得：的最小值就是点到直线的距离．
此时，，所以
由切线的对称性可得：
所以的面积为，
故答案为：1；.
77．（多选题）（2022·云南曲靖·高二期末）已知圆与直线，则（       ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】由题意，圆的圆心，半径，
直线变形得，得直线过定点，
∵，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为，故C对；
故选：AC．
78．（多选题）（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.
故选：BCD.
79．（多选题）（2022·湖北恩施·高二期末）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（       ）
A．6 B．7 C．8 D．5
【答案】BC
【解析】由，得，
令解得故直线l恒过点.圆心，半径，
，则，
即.
故选：BC.
80．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，

当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
81．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
82．（2022·广东江门·高二期末）直线：与圆：的位置关系为（       ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，半径，
圆心到直线：的距离，
所以直线与圆相切；
故选：A
83．（2022·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线是圆的对称轴.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为 C(2,1)，半径为2.
点(2,1)在直线上，即
点A的坐标为(-4,-1)

过点A作圆C的切线所得切线长为
以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为
圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为
故选：A.
84．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线经过点，且与圆相切，则,
故直线的方程为，即.
故选：A.
85．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（       ）
A．​或​ B．​ C．​或​ D．​
【答案】A
【解析】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
86．（2022·吉林吉林·高二期末（理））在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_____________
【答案】
【解析】

圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心（1，3）半径，由题意知最长弦为过E点的直径，
最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即AC⊥BD，且，圆心和E点之间的距离为，
故，所以四边形ABCD的面积为.
故答案为：.
87．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，圆，故圆心，半径，故圆心到直线的距离为，故，即，解得，即
故答案为：
88．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线与圆相交于两点，则=__________．
【答案】2
【解析】根据圆的方程：，圆心坐标，半径，
∴圆心到直线距离，
所以，
故答案为：.
89．（2022·福建宁德·高二期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．
【答案】
【解析】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线.
故答案为：.
90．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
故答案为：或
91．（2022·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
【解析】(1)点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以，
所以光线的方程为.
(2)设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即,
化简得：,
解得或,
所光线的方程为或.
92．（2022·浙江宁波·高二期中）如图，圆，圆（），点，，为圆上异于点P的两点.若直线，与圆都相切，求证：

(1)直线，的斜率之积为1；
(2)直线的斜率为定值.
【解析】(1)因为，所以过点P与圆C相切的直线斜率一定存在.
设切线为，即，
设，两边平方整理得：.
设直线PM,PN的斜率分别为，由韦达定理得：，
所以直线PM,PN的斜率之积为1.
即证.
(2)由（1）得：，则有：，.
设
把直线与联立，消去y，整理得：
.
解得：
所以


.
所以直线的斜率为.
93．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）已知点，点，直线过定点．
(1)求以线段AB为直径的圆的标准方程；
(2)记(1)中求得的圆的圆心为C，
(i)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(ii)若直线l与圆C交于，PQ两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【解析】(1)依题可知线段AB的中点为是圆心，
半径．
∴所求圆的标准方程为：；
(2)(i)由(1)知：圆心，半径，
当直线斜率不存在时，方程为，是圆的切线，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
∴圆心到直线距离，解得：，∴：；
综上所述：直线的方程为或；
(ii)由直线与圆交于，两点知：直线斜率存在且不为0，
设其方程为：，即，
∴圆心到直线距离，
∵
(当且仅当，即时取等号)，
由得：，解得：或，
∴面积的最大值为2，此时方程为：或．

核心知识11 圆与圆的位置关系
94．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，
两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
95．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（       ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
96．（多选题）（2022·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（       ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
【答案】ACD
【解析】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A正确；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C正确；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.
故选：ACD
97．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3
98．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.
【答案】
【解析】由题意所在的直线方程为：，即，
因为圆的圆心，半径为，
所以，圆心到直线的距离为1，
所以.
故答案为：
99．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.

100．（2022·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆，
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
(2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切.
【解析】（1）由圆可得，半径，
由圆可得，半径，
，
所以，所以圆相交.
设直线分别与圆切于，，连接，
在直角梯形中，，
所以，即它们的公切线之长为；
（2）设线段的中点为，则，
因为动直线与圆交于，，且线段的长度为，
所以，
又因为，所以点到直线的距离为，
所以直线总与圆相切，
所以存在一个定圆，直线总与之相切.

核心知识12 圆中的范围与最值问题
101．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（       ）
A．-1 B． C．+1 D．6
【答案】A
【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.
故选：A
102．（2022·辽宁营口·高二期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.
故选：C.
103．（2022·北京平谷·高二期末）已知实数，满足，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可化为，所以，解得，因此的最小值是．
故选：A．
104．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
105．（2022·浙江·金乡卫城中学高二期中）如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（       ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】设，则，整理得；
同理，，若，
∴，可得，且，即，
∴且，
∴当时，有最小.
故选：B
106．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：

在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
107．（多选题）（2022·全国·益阳平高学校高二期末）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（       ）
A．点M的轨迹是圆 B．的最小值为6
C．使为整数的直线l共有9条 D．使为整数的直线l共有16条
【答案】ABD
【解析】因为直线l恒过点，且点M为弦PQ的中点，所以，则易得点M的轨迹是圆，故A对；
圆心O到直线l的距离为，故当时有最大值，即，故的最小值为，故B对；
由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线l有（条），故C错，D对.
故选：ABD
108．（多选题）（2022·重庆市实验中学高二期末）已知圆，点，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且．则（       ）
A．直线的斜率 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
【答案】CD
【解析】依题意圆的圆心坐标为，半径，
显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线，即，
所以，解得，故A错误；
因为，所以，故C正确；
当直线与圆相切时，，又，所以不存在最小值，只存在最大值且，故B错误；
设，，由与，
消去整理得
所以，，
所以

，故D正确；
故选：CD

109．（多选题）（2022·浙江金华第一中学高二期中）圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（       ）
A．直线l与圆C相交
B．的最小值是1
C．若P到直线l的距离为2，则点P有2个
D．从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3
【答案】BCD
【解析】对于A:由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

故A错误；
对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为.

故B正确;
对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设.由，解得：或.

当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1.
当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离，不合题意.
综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.
对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长.要使切线长最小，只需最小.

点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确.
故选：BCD
110．（2022·河北张家口·高二期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．

111．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
【答案】
【解析】设，则，整理可得：；

，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，.
故答案为：.
112．（多选题）（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则（       ）
A．点的轨迹方程为 B．面积最大时
C．最大时， D．到直线距离最小值为
【答案】ABD
【解析】设，由得：，即，
化简可得：，即点轨迹方程为，A正确；
直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，
，面积最大为，此时，
，B正确；
当最大时，则为圆的切线，
，C错误；
直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
点到直线距离最小值为，D正确.
故选：ABD.