第二章平面解析几何单元测试卷（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

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第二章　平面解析几何全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-3y-1=0的倾斜角α=(　　)A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°2.若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:(a+2)x-ay-1=0平行,则实数a=(　　)A.-1　　　　B.2　　　　C.-1或2　　　　D.1或-23.已知平面上点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),以下叙述错误的是(　　)A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线　　　　B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支C.若|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),则M的轨迹一定是圆　　　　D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆4.已知圆C1:x2+y2+4x+3=0,圆C2:x2+y2-8x+12=0,下列直线中不能与圆C1,C2同时相切的是(　　)A.3x+3y=0　　　　 B.3x-3y=0C.x+35y+8=0　　　　D.x−35y-8=05.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),O为坐标原点,直线l交椭圆于A,B两点,M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为-13,则C的离心率为(　　)A.12　　　　B.22　　　　C.33　　　　D.636.已知圆(x-a)2+y2=9(a>5)上存在点M,使|OM|=2|MQ|(O为坐标原点)成立,Q(2,0),则实数a的取值范围是(　　)A.a>7　　　　 B.50),则(　　)A.a2+b2=4B.△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1,0)C.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率为23D.若AF1⊥AF2,则椭圆方程为x27+y23=1三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知A1,14,B-1,14,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是12,则点M的轨迹C的方程是　　　　　　　.若F为轨迹C的焦点,P是直线l:y=-1上的一点,Q是直线PF与轨迹C的一个交点,且FP=3FQ,则|QF|=　　　　. 13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,b-c(b>c>0)为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　. 14.已知点P(0,2),圆O:x2+y2=16上两点M(x1,y1),N(x2,y2),且MP=λPN(λ∈R),则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为　　　　. 四、解答题(本题共5小题,共77分)15.(13分)如图,已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.16.(15分)某公园有一圆柱形景观建筑物,底面直径为45米,在其南面有一条东西走向的观景直道,在其东、西两侧有与直道平行的两段辅道,且观景直道与辅道的距离为6米.已知在建筑物底面中心O的东北方向且距离为102米的点A处有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.(1)若在西辅道上与建筑物底面中心O距离为5米的点B处有一游客,该游客是否在该摄像头的监控范围内?(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.17.(15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,F为双曲线的右焦点,直线l过F与双曲线的右支交于P,Q两点,且点P在第一象限,当l垂直于x轴时,|PQ|=6.(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点F且垂直于l的直线l'与双曲线C的左、右两支分别交于M,N,求MP·NQ+MQ·NP的取值范围.18.(17分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ的面积的最小值.19.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,焦距为22.(1)求E的方程;(2)过点T(1,0)分别作斜率和为1的两条直线l1与l2,设l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.求证:直线MN过定点.答案与解析第二章　平面解析几何1.A　直线x-3y-1=0的斜率k=33.由斜率和倾斜角的关系可得tan α=33,∵0°≤α0,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得x-2(k2+1)k2-12+y2=16k2(k2-1)2,其表示圆心为2(k2+1)k2-1,0,半径为4k|k2-1|的圆,故C中叙述正确;对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.故选B.4.D　由题意知C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=4,所以圆C1的圆心为(-2,0),半径为1;圆C2的圆心为(4,0),半径为2.对于A,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为|-23|(3)2+32=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为|43|(3)2+32=2,与半径相等,故直线3x+3y=0是两圆的一条公切线.对于B,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为|-23|(3)2+(-3)2=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为|43|(3)2+(-3)2=2,与半径相等,故直线3x-3y=0是两圆的一条公切线.对于C,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为|-2+8|12+(35)2=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为|4+8|12+(35)2=2,与半径相等,故直线x+35y+8=0是两圆的一条公切线.对于D,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为|-2-8|12+(-35)2=53,与半径不相等,故直线x-35y-8=0不可能是两圆的公切线.故选D.5.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).由A,B两点在椭圆C上,可得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0.因为M为AB的中点,所以x0=x1+x22,y0=y1+y22,所以x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0,所以kAB=y1-y2x1-x2=−b2x0a2y0.又kOM=y0x0,所以kAB·kOM=-b2x0a2y0·y0x0=−b2a2=−13,即b2a2=13,所以椭圆C的离心率e=1-b2a2=63.故选D.6.D　设点M(x,y).∵|OM|=2|MQ|,∴x2+y2=4[(x-2)2+y2],整理得x-832+y2=169,即点M的轨迹是以83,0为圆心,43为半径的圆,由题意可得该圆与以(a,0)为圆心,3为半径的圆有公共点,又a>5,∴3-43≤a-83≤3+43,∴50恒成立.∵SQ=2QT,∴y1=−2y2,∴-y2=-12m3m2-1,-2y22=93m2-1,解得m2=135.∴S△BST=12|BQ|·|y1-y2|=12|y1−y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=12·36m2+36|3m2-1|=3×135+11-335=93516.故选A.9.BCD　易得圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径R=2;圆M:x2+y2+4x-2y+4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=1,所以圆心M(-2,1),半径r=1.对于A,易得圆心距为|OM|=50),则|MN|=3m,|NB|=m,|MA|=2m,|MC|=m,所以|NC|=22m,则tan θ=|MC||NC|=24,故D正确.故选AD.11.BCD　由双曲线C1:x2-y23=1可得c=1+3=2,∴a2-b2=c2=4,故A错误;设△AF1F2的内切圆的圆心为I,圆I与边AF1,F1F2,F2A相切于点N,M,K,连接NI,MI,KI,如图所示:则|AN|=|AK|,|F1M|=|F1N|,|F2M|=|F2K|,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2,即(|AN|+|F1N|)-(|AK|+|F2K|)=|F1N|-|F2K|=|F1M|-|F2M|=2①,又|F1M|+|F2M|=4②,∴由①②解得|F2M|=1,|F1M|=3,∴M(1,0),∴圆I与x轴相切于点(1,0),故B正确;椭圆C2中,|F1A|+|F2A|=2a,又|F1A|-|F2A|=2,∴|F1A|=a+1,|F2A|=a-1,由|F1F2|=|F1A|,得4=a+1,解得a=3,则C2的离心率为ca=23,故C正确;若AF1⊥AF2,则|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2,即(a+1)2+(a-1)2=4c2=16,解得a=7,则b=a2-c2=7-4=3,∴椭圆的方程为x27+y23=1,故D正确.故选BCD.12.答案　x2=4y(x≠±1);43解析　设M(x,y),x≠±1,由题意,得kAM-kBM=y-14x-1−y-14x+1=12,整理,得点M的轨迹C的方程是x2=4y(x≠±1).∵F为轨迹C的焦点,∴F(0,1),如图,过点Q作QS⊥y轴于点S,设直线l与y轴交于点N,∵FP=3FQ,∴|FS||FN|=|FQ||FP|=13,∴|FS|=23,|OS|=13,∴Q±233,13,∴|QF|=±233-02+13-12=43.13.答案　35,22解析　∵|PT|=|PF2|2-(b-c)2,∴当|PF2|取得最小值时,|PT|取得最小值.当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为a-c,∴(a-c)2-(b-c)2≥32(a-c),∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),即5c2+2ac-3a2≥0,∴5e2+2e-3≥0,解得e≥35或e≤-1(舍去).又e∈(0,1),∴35≤ec,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2