人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程优秀学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程优秀学案，共10页。




1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.


2.掌握双曲线的标准方程及其求法.


3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.


4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.





重点：双曲线的标准方程及其求法.


难点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程





知识梳理


1.双曲线的定义





2.双曲线的标准方程





3.双曲线与椭圆的比较





1.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?


2.判断


(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )


(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )


(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )


3.过点(1,1),且ba=2的双曲线的标准方程是( )


A.x212-y2=1B.y212-x2=1


C.x2-y212=1 D.x212-y2=1或y212-x2=1








创设问题情境


如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告： A，C两个观测点同时听到一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，假定当时声音传播的速度为340m/s，且A,B,C ,O均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？








PB-PA=4×360=1360





你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？











如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?


怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？


从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，


并求出双曲线的标准方程。


以F1,F2所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，


此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2 （c,0）


设Px,y是双曲线上一点，则


PF1-PF2=2a,


因为PF1=(x+c)2+y2, PF2=(x-c)2+y2,


所以(x+c)2+y2-x-c2+y2=±2a ①


由①得(x+c)2+y2-(x-c)2+y2(x+c)2+y2+(x-c)2+y2 =±2a


整理得(x+c)2+y2-x-c2+y2=±2cax. ②


且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得


(x+c)2+y2 =±(a+cax) ③


将③式平方再整理得c2-a2a2x2-y2= c2-a2 ④


因为c>a>0 ，所以c2-a2>0


设c2-a2=b2


且b>0,则④可化为


x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)








尝试与发现





设双曲线的焦点为 F1和F2 ，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P满足


PF1-PF2=2a,其中c>a>0 ，以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；


（1）双曲线焦点的坐标分别是什么？


（2）能否通过x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0) ，来得到此双曲线方程形式？








二、典例解析





例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.


(1)焦点在x轴上,a=25,经过点A(-5,2);


(2)经过两点A(-7,-62),B(27,3).





求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.


跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.


(1)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(26,22);


(2)过点P3,154,Q-163,5且焦点在坐标轴上.





例2 .已知F1-2,0，F2 2,0，动点P满足PF1-PF2=2，求动点P的轨迹方程。








例3 “神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.





典例解析








1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:


(1)建立适当的坐标系;


(2)求出双曲线的标准方程;


(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.


2.注意事项:


(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.


(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.


跟踪训练2 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=12


,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.








典例 已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值.











1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )


A.双曲线和一条直线


B.双曲线和一条射线


C.双曲线的一支和一条直线


D.双曲线的一支和一条射线


2.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )


A.4aB.4a-m C.4a+2m D.4a-2m


3.已知方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线,则m的取值范围是( )


A.(-1,+∞)B.(2,+∞)


C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-1,2)


4.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 .


5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.


(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;


(2)以椭圆x28+y25=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,10);


(3)a=b,经过点(3,-1).























参考答案：


知识梳理


1.提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).


②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.


③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.


2.答案:(1)× (2)× (3)×


3.解析:∵ba=2,∴b2=2a2.


当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y22a2=1,


将点(1,1)代入方程中,得a2=12.


此时双曲线的标准方程为x212-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为y212-x2=1.


答案:D


学习过程


例1分析(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到.


(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.


解:(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


则a=25,25a2-4b2=1,解得b2=16,


则双曲线的标准方程为x220-y216=1.


(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,


则有49m-72n=1,28m-9n=1,解得m=125,n=175,


则双曲线的标准方程为x225-y275=1.


跟踪训练1 解:(1)因为焦点在x轴上,


可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


将点(4,-2)和(26,22)代入方程得16a2-4b2=1,24a2-8b2=1,


解得a2=8,b2=4,


所以双曲线的标准方程为x28-y24=1.


(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.


因为点P,Q在双曲线上,


则9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.


故双曲线的标准方程为y29-x216=1.


例2 . 解：因为22=1>2,所以根据双曲线的定义可知，P一定在a=1,c=2且焦点在x轴上的双曲线上，这就是说，点P的坐标x,y一定满足，


x2-y23=1


另一方面，由PF1-PF2=2>0可知PF1>PF2，因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为


x2-y23=1 x>0


例3 解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.


又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,


所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.


以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).所以双曲线方程为x24-y25=1(x>2),


BC的垂直平分线方程为x-3y+7=0.


联立两方程解得x=8(舍负),y=53,


所以P(8,53),


kPA=tan∠PAx=3,所以∠PAx=60°,


所以P点在A点的北偏东30°方向.


跟踪训练2 解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.


设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为x2a2-y2b2=1,


焦点为E(-c,0),F(c,0).


由tan∠PEF=12,tan∠EFP=-2,


设∠PFx=α,则tan α=tan(π-∠EFP)=2,


得直线PE和直线PF的方程分别为y=12(x+c)和y=2(x-c).


联立两方程,解得x=53c,y=43c,


即P点坐标为53c,43c.








∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,∴S△EFP=43c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).


由两点间的距离公式|PE|=(5+3)2+42=45,|PF|=(5-3)2+42=25,


∴a=5.又b2=c2-a2=4,


故所求双曲线的方程为x25-y24=1.


典例 错解:将双曲线方程化为标准方程为x21k-y28k=1.


由题意知焦点在y轴上,所以a2=8k,b2=1k,


所以c=a2-b2=8k-1k=3,即7k=9,所以k=79.


错因分析上述解法有两处错误:一是a2,b2确定错误,应该是a2=-8k,b2=-1k;二是a,b,c的关系式用错了,在双曲线中应为c2=a2+b2.


正解:将双曲线方程化为kx2-k8y2=1,


即x21k-y28k=1.因为一个焦点是(0,3),


所以焦点在y轴上,所以c=3,a2=-8k,b2=-1k,


所以a2+b2=-8k-1k=c2=9,所以k=-1.


达标检测


1 解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.


答案:D


2.解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.


答案:C


3.解析:∵方程x21+m+y2m-2=1,∴(m-2)(m+1)<0,


解得-1

答案:D


4.解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),


则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125,


故双曲线的标准方程为y225-x275=1.


答案:y225-x275=1


5解:(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,


又知焦点在x轴上,且c=5,


所以b2=c2-a2=25-16=9,


所以双曲线的标准方程为x216-y29=1.


(2)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=22.


设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


则有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1,


解得a2=3,b2=5.


故所求双曲线的标准方程为x23-y25=1.


(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,


得32-(-1)2=a2,


所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为x28-y28=1.


当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.


综上,所求双曲线的标准方程为x28-y28=1.


焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程



(a>0,b>0)



(a>0,b>0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=c2-a2

椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a


(2a>|F1F2|)
||MF1|-|MF2||=2a


(0<2a<|F1F2|)
a,b,c的关系
b2=a2-c2
b2=c2-a2
焦点在


x轴上
焦点在


y轴上