第二章综合拔高练（高考真题演练含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

这是一份第二章综合拔高练（高考真题演练含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一），共26页。
综合拔高练高考真题练考点1　直线与圆的方程及其应用1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.22.(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切3.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)A.1　　　　B.154　　　　C.104　　　　D.644.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)A.1+322　　　　B.4　　　　C.1+32　　　　D.75.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=32D.当∠PBA最大时,|PB|=326.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　. 7.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值　　　　. 8.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　. 考点2　圆锥曲线的定义及其应用9.(2020全国Ⅰ文,11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)A.72　　　　B.3　　　　C.52　　　　D.210.(2023全国乙理,13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　. 11.(2021全国甲理,15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　. 考点3　圆锥曲线的标准方程及几何性质12.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=(　　)A.233　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.613.(2022全国甲理,10)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为(　　)A.32　　　　B.22　　　　C.12　　　　D.1314.(2023天津,9)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为(　　)A.x28−y24=1　　　　B.x24−y28=1C.x24−y22=1　　　　D.x22−y24=115.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)A.p=2B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形16.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=−23F2B,则C的离心率为　　　　. 考点4　直线与圆锥曲线的位置关系17.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　)A.23　　　　B.23　　　　C.−23　　　　D.−2318.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　)A.(1,1)　　　　B.(-1,2)C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)19.(2023天津,18)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.20.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.21.(2023北京,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.(1)求E的方程;(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.22.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.高考模拟练应用实践1.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,若|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,则C的离心率可能为(　　)A.43　　　　B.53　　　　C.2　　　　D.732.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆A:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆B:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)A.5−1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.53.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(　　)A.32　　　　B.22　　　　C.62　　　　D.334.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线4x23-4y2=1的右焦点相同,过点F作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)A.16　　　　B.20　　　　C.24　　　　D.325.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为2-32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围是　　　　. 6.已知圆C:x2+y2-2x=0,直线l:x+y+1=0,P为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别A,B,当|PC|·|AB|最小时,直线PC的方程为　　　　. 7.斜率为1的直线与双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点C是双曲线E上一点,满足AC⊥BC,△OAC和△OBC的重心分别为P,Q,△ABC的外心为R,记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3,若k1k2k3=-8,则双曲线E的离心率为　　　　. 8.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片按如下步骤折纸(如图):步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F;步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合);步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P;步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为23,按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为A,B,点P为曲线C上异于A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT,交曲线C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ.(i)求证:kAP·kAQ为定值;(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若右焦点为F(2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.答案与分层梯度式解析综合拔高练高考真题练1.B　解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤k2+1·2,所以d=|k+1|k2+1≤2,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为|PQ|=2.故选B.2.ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=r2a2+b24,∴点P到直线AB的距离的取值范围为1155-4,1155+4.∵11550,∴p>12,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,∴|AB|=1+22|yA−yB|=5(4p)2-4×2p=415,∴p=2或p=-32(舍去).(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=my+n,y2=4x,消去x得y2-4my-4n=0.Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2.FM=(x1−1,y1),FN=(x2-1,y2),∴FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,①②联立可得n2-6n+14+n>0,解得n≠1,又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-22或n≥3+22.S△MFN=12|MF||NF|=12(x1+1)(x2+1)=12(x1x2+x1+x2+1)=12(2n2-4n+2)=(n-1)2.∵n≤3-22或n≥3+22,∴当n=3-22时,(S△MFN)min=(2-22)2=12−82.21.解析　(1)由题意知|AC|=2b=4,即b=2,又e=ca=1-b2a2=1-4a2=53,∴a2=9.∴E的方程为x29+y24=1.(2)证明:设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则x029+y024=1,即4x02=36−9y02,直线PD:y=y0x0-3(x-3).易得直线BC:y=-23x-2,联立直线PD与直线BC的方程,得点M3(3y0-2x0+6)3y0+2x0-6,-12y03y0+2x0-6.直线PA的方程为y=y0-2x0x+2,令y=-2,得点N-4x0y0-2,-2.所以kMN=-12y03y0+2x0-6+23(3y0-2x0+6)3y0+2x0-6+4x0y0-2=-12y0+6y0+4x0-129y0-6x0+18+12x0y0+8x02-24x0y0-2=(-6y0+4x0-12)(y0-2)9y02-6x0y0+18y0-18y0+12x0-36+12x0y0+8x02-24x0=-6y02+4x0y0-12y0+12y0-8x0+249y02+72-18y02+6x0y0-12x0-36=23·-3y02+2x0y0-4x0+12-3y02+2x0y0-4x0+12=23,又因为kCD=23,所以kMN=kCD,又MN与CD无公共点,所以MN∥CD.22.解析　(1)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),半焦距为c,由题意知c=25,e=5=ca,则a=2,所以b2=c2-a2=(25)2-22=16,所以双曲线C的方程为x24−y216=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1y2,P(x,y),由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由x=ty-4,x24-y216=1,消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484t2-1,故y1+y2=2t3y1y2.易知A1(-2,0),A2(2,0),则直线MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,直线NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,联立消去y得x-x1x1+2+1y1=x-x2x2-2+1y2,即x=2y1(x2-2)+2y2(x1+2)y2(x1+2)-y1(x2-2)=4y2(x1+2)y2(x1+2)-y1(x2-2)−2=2ty1y2-4y23y1-y2−2=3y1-y23y1-y2-2=-1,即点P在定直线x=-1上.高考模拟练1.A　如图,过点F2作渐近线y=-abx的垂线,垂足为E,连接MF2.设|F1F2|=2c,则点F2到渐近线y=-abx的距离为|EF2|=bca2+b2=b.由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a,故|MF1|=|MF2|+2a,所以|MD|+|MF1|=|MD|+|MF2|+2a≥|EF2|+2a=b+2a,故|MD|+|MF1|的最小值为2a+b.因为|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,所以|MD|+|MF1|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,所以3c2+5a2-8ac0,b>0)有两个交点G,H,设GH的中点为K.由y=kx+m,x2a2-y2b2=1,得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,所以xG+xH=2a2kmb2-a2k2,所以xK=xG+xH2=a2kmb2-a2k2,所以yK=a2k2mb2-a2k2+m=b2mb2-a2k2,所以kOK=yKxK=b2ka2,所以kGH·kOK=b2a2.取AC,BC的中点M,N,连接OM,ON.易知△OAC的重心P在中线OM上,△OBC的重心Q在中线ON上,所以k1=kOP=kOM,k2=kOQ=kON,又kOM·kAC=kON·kBC=b2a2,所以k1·kAC=k2·kBC=b2a2.由AC⊥BC,得kAC·kBC=-1,所以k1·k2=-b2a22.因为AC⊥BC,且△ABC的外心为点R,所以R为线段AB的中点, 所以kOR·kAB=b2a2,又kAB=1,所以kOR=b2a2.所以k1k2k3=-b2a23=-8,所以ba=2,所以e=1+ba2=3.8.解析　(1)由题意可知|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=23,故点P的轨迹是以E,F为焦点,2a=4为长轴长的椭圆,所以b2=a2-c2=1,所以C的方程为x24+y2=1.(2)(i)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).由题可知A(-2,0),B(2,0),则kAP=y1x1+2,kAQ=kAT=m-04-(-2)=m6.因为kBP=kBT,即y1x1-2=m2,所以m=2y1x1-2,所以kAP·kAQ=y1x1+2×m6=y1x1+2×y13(x1-2)=y123(x12-4),又x124+y12=1,即y12=14(4−x12),所以kAP·kAQ=14(4-x12)3(x12-4)=−112,为定值.(ii)设直线PQ的方程为x=ty+n,由x=ty+n,x24+y2=1,得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,所以y1+y2=-2tnt2+4,y1y2=n2-4t2+4.由(i)知kAP·kAQ=-112,所以y1x1+2·y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)=−112,化简得n2-44n2+16n+16=−112,解得n=1或n=-2(舍去),所以直线PQ的方程为x=ty+1,所以直线PQ经过定点(1,0).9.解析　(1)由题意得c=2,e=ca=63,a2=b2+c2,解得a2=3,b2=1,故椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)证明:①先证必要性.因为M,N,F三点共线,所以设直线MN:x=my+2.由题意知O(0,0)到直线MN的距离d=2m2+1=1,解得m=±1,所以直线MN:x±y-2=0.根据对称性,不妨令直线MN:y=x-2.联立y=x-2,x23+y2=1,消去y,整理得4x2-62x+3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=322,x1x2=34,所以|MN|=1+12·|x1-x2|=2×(x1+x2)2-4x1x2=3,即必要性成立.②再证充分性.因为直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切,所以设切点为P(x0,y0)(x0>0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN:x0x+y0y=1且x02+y02=1.联立x0x+y0y=1,x23+y2=1,得(y0y)2=(1-x0x)2,y02x2+3(y0y)2=3y02,则y02x2+3(1−x0x)2=3y02,即(3x02+y02)x2−6x0x+3−3y02=0,即(2x02+1)x2−6x0x+3x02=0,所以x1+x2=6x02x02+1,x1x2=3x022x02+1,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=24x02-24x042x02+1=26x01-x022x02+1=26x0|y0|2x02+1.又kMN=-x0y0,故|MN|=1+-x0y02|x1−x2|=1|y0|·|x1-x2|=26x02x02+1=3,即2x02−22x0+1=0,即(2x0-1)2=0,所以x0=22,故y0=±1-x02=±22.由于MN:x0x+y0y=1,即MN:x±y=2,故直线MN过F(2,0),即M,N,F三点共线.故充分性成立.故M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.1.B2.ABD3.B4.C5.ACD9.B12.A13.A14.D15.AC17.C18.D1.A2.B3.A4.C