第二章 专题强化练4 对称问题及其应用（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

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专题强化练4　对称问题及其应用1.已知两点P(a,b),Q(b+1,a-1)关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.y=x-1　　　　 B.y=x+1C.y=-x+1　　　　D.y=-x-12.光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(2,2),则反射光线所在直线的方程为( )A.6x-5y-2=0　　　　 B.6x+5y-22=0C.5x-6y+2=0　　　　 D.5x+6y-22=03.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线为l:y=x+1,则AC所在直线的方程为(　　)A.y=2x+4　　　　 B.y=12x-3C.x-2y-1=0　　　　D.3x+y+1=04.已知直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线的方程为(　　)A.x-2y-6=0　　　　B.x-2y=0C.2x-y-9=0　　　　D.2x-y-3=05.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为(　　)A.x-2y+3=0　　　　B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0　　　　D.2x-y+6=06.已知x,y均为正实数,2x+y=2,则x+x2+y2的最小值为(　　)A.54　　　　B.85　　　　C.1　　　　D.1+237.(多选题)已知O为坐标原点,A(3,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点,则(　　)A.△APQ周长的最小值为42B.|AP|+|AQ|的最小值为1+2C.|AP|+|PQ|的最小值为22D.2|AP|+|OP|的最小值为48.事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题解决,例如,与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题,可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的几何问题.已知点M(x1,y1)在直线l1:y=x+2上,点N(x2,y2)在直线l2:y=x上,且MN⊥l1,结合上述观点,x12+(y1-4)2+(x2-5)2+y22的最小值为(　　)A.722　　　　B.1122　　　　C.41−2　　　　D.59.已知点P在直线x-y-1=0上,点A(1,-2),B(2,6),则|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为　　　　. 10.已知平面上两点A(4,1),B(0,4),点M在直线l:3x-y-1=0上.(1)求||MA|-|MB||取得最大值时点M的坐标;(2)求|MA|+|MB|取得最小值时点M的坐标.答案与分层梯度式解析专题强化练4　对称问题及其应用1.A　易知kPQ=a-1-bb+1-a=-1,∴直线l的斜率为1.设l的方程为y=x+m.易知PQ的中点坐标为a+b+12,b+a-12,所以b+a-12=a+b+12+m,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.故选A.2.C　设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),则2+x02+3+y02+1=0,y0-3x0-2=1,解得x0=-4,y0=-3,故A'(-4,-3).易知反射光线所在直线经过点A'(-4,-3),B(2,2),所以反射光线所在直线的方程为y-2=2+32+4(x-2),即5x-6y+2=0.故选C.3.C　设B关于l:y=x+1的对称点为B'(x,y),则BB'⊥l,且BB'的中点在l上,∴y-2x+1=-1,y+22=x-12+1,解得x=1,y=0,∴B'(1,0).又B'在直线AC上,A(3,1),∴直线AC的方程为y-10-1=x-31-3,即x-2y-1=0.4.D　由(2a-1)x+(-a+3)y-5=0得a(2x-y)-x+3y-5=0.令2x-y=0,-x+3y-5=0,解得x=1,y=2,所以M(1,2).设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线的方程为2x-y+b=0(b≠3),则M(1,2)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等,所以|2-2+3|5=|2-2+b|5,解得b=3(舍去)或b=-3,所以所求直线的方程为2x-y-3=0.故选D.5.B　设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A32,0,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为-32,0,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在直线l3上,故l3的方程为x-32+y3=1,即2x-y+3=0.故选B.6.B　x+x2+y2表示点(x,y)(记为P)与(0,0)间的距离和点(x,y)到y轴的距离之和.如图,作点O关于直线2x+y=2(x>0,y>0)的对称点C,连接PC,则|PO|=|PC|.设C(x0,y0),则y0x0×(-2)=-1,2×x02+y02=2,解得x0=85,y0=45,所以C85,45.过点P作PD⊥y轴于D,过点C作CH⊥y轴于H,连接CD,则|PD|+|PO|=|PD|+|PC|≥|CD|≥|CH|=85,所以x+x2+y2的最小值为85.故选B.7.BCD　对于A,如图1,易得A(3,1)关于直线l:y=x的对称点为(1,3)(记为A1),关于x轴的对称点为(3,-1)(记为A2),连接A1Q,A2P,A1A2,则|QA|=|QA1|,|PA|=|PA2|,所以△APQ的周长为|PQ|+|QA|+|PA|=|PQ|+|QA1|+|PA2|≥|A1A2|=(3-1)2+(-1-3)2=25,当且仅当A1,P,Q,A2四点共线时,等号成立,所以△APQ周长的最小值为25,故A错误.对于B,设A(3,1)到x轴、直线l:x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2=|3-1|12+(-1)2=2,所以|AP|+|AQ|≥d1+d2=1+2,所以|AP|+|AQ|的最小值为1+2,故B正确.对于C,|AP|+|PQ|=|A2P|+|PQ|.设A2(3,-1)到直线l:x-y=0的距离为d3,则d3=|3-(-1)|12+(-1)2=22,所以|A2P|+|PQ|≥d3=22,所以|AP|+|PQ|的最小值为22,故C正确.对于D,如图2,作PC⊥l,垂足为C.因为直线l的斜率k=1,所以∠COP=45°,所以|CP|=22|OP|,所以2|AP|+|OP|=2|A2P|+22|OP|=2(|A2P|+|CP|)≥2d3=4,所以2|AP|+|OP|的最小值为4,故D正确.故选BCD.8.D　x12+(y1-4)2表示点M(x1,y1)与点(0,4)(记为A)间的距离,(x2-5)2+y22表示点N(x2,y2)与点(5,0)(记为B)间的距离,所以x12+(y1-4)2+(x2-5)2+y22=|MA|+|NB|.过点A作AC⊥l1,垂足为C,则|AC|=|0-4+2|1+1=2,又|MN|=|2-0|1+1=2,所以MN∥AC,|MN|=|AC|,连接CN,则四边形AMNC为平行四边形,所以|AM|=|CN|,所以x12+(y1-4)2+(x2-5)2+y22=|CN|+|NB|≥|CB|,当且仅当C,N,B三点共线时,等号成立.易得过点A(0,4)与直线l1垂直的直线的方程为y=-x+4.由y=-x+4,y=x+2,得x=1,y=3,所以C(1,3),所以|CB|=(5-1)2+(0-3)2=5,所以x12+(y1-4)2+(x2-5)2+y22的最小值为5.故选D.9.答案　(-3,-4)解析　如图,设点A(1,-2)关于直线x-y-1=0的对称点为E(m,n),则m+12-n-22-1=0,n+2m-1×1=-1,解得m=-1,n=0,所以E(-1,0).结合图形可知,当B,E,P三点共线,即点P在点Q的位置时,|PA|-|PB|取得最小值,此时kBQ=6-02-(-1)=2,所以直线BQ的方程为y=2(x+1)=2x+2.由y=2x+2,x-y-1=0,解得x=-3,y=-4,所以Q(-3,-4).所以|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为(-3,-4).10.解析　(1)设点B(0,4)关于直线l的对称点为C(m,n),则3×m2-n+42-1=0,n-4m=-13,解得m=3,n=3,所以C(3,3).连接MC,AC,易知|MB|=|MC|,所以||MA|-|MB||=||MA|-|MC||≤|AC|,当且仅当A,C,M三点共线时,等号成立.易得直线AC的方程为2x+y-9=0,由2x+y-9=0,3x-y-1=0,解得x=2,y=5,所以||MA|-|MB||取得最大值时的点M的坐标为(2,5).(2)结合(1)中的图可知,要使|MA|+|MB|取得最小值,只需A,B,M三点共线.易得直线AB的方程为3x+4y-16=0,由3x+4y-16=0,3x-y-1=0,解得x=43,y=3,所以|MA|+|MB|取得最小值时的点M的坐标为43,3.1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.BCD8.D