第二章 专题强化练6 椭圆的综合问题（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

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专题强化练6　椭圆的综合问题1.如图,某同学用两根木条钉成十字架,制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽,在另一活动木条的P处钻一个小孔,可以容纳笔尖,A,B各在一条槽内移动,且PA与PB的长度不变,此时P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=3|AB|,且P为右顶点时,B恰好在O点,则E的离心率为(　　)A.14　　　　B.34　　　　C.74　　　　D.732.已知O是坐标原点,F1,F2是椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点,P是椭圆在第一象限内的点,且cos∠F1PF2=13,M是∠F1PF2的平分线上的动点,则|MF1|+|MO|的最小值为(　　)A.6　　　　B.7　　　　C.22　　　　D.33.(多选题)通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2分别为左、右顶点,B1,B2分别为上、下顶点,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(　　)A.|A1F2||F1A2|=4|F1F2|2B.∠F1B1A2=90°C.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2D.PF1⊥x轴,且PO∥A2B14.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=a2c上存在点P,使线段PF1的垂直平分线经过点F2,则离心率e的取值范围是(　　)A.0,22　　　　B.0,33　　　　C.33,1　　　　D.22,15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M,N是椭圆x22+y24=1上的两个动点,动点P满足OP=2OM+ON,直线OM与直线ON的斜率之积为-2,存在两定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,则该定值为(　　)A.45　　　　B.42　　　　C.4　　　　D.436.(多选题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(2,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则(　　)A.离心率e的取值范围为0,12B.当离心率e=24时,|QF1|+|QP|的最大值为4+62C.存在点Q使得QF1·QF2=0D.1|QF1|+1|QF2|的最小值为17.过椭圆x236+y227=1上一动点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x-3)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2+2|PN|2的最小值为　　　　. 答案与分层梯度式解析专题强化练6　椭圆的综合问题1.C　设|AB|=x,x>0,则|PA|=3x.当A滑动到O时,P为上顶点或下顶点,则b=|PA|=3x,又当P为右顶点时,B恰好在O点,所以a=|PB|=4x,所以c=(4x)2-(3x)2=7x,故离心率e=ca=7x4x=74.故选C.2.A　由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,F1(-2,0),F2(2,0).由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=13,所以|PF1|=3,|PF2|=1,所以PF2⊥x轴,即P(2,1).设∠F1PF2的平分线与x轴相交于N(x0,0),由三角形角平分线定理得x0+22-x0=31,所以N22,0,故∠F1PF2的平分线所在直线的方程为2x-y-1=0,记为l.易得原点O(0,0)关于直线l的对称点为223,-23,记为O1,连接MO1,F1O1,则|MF1|+|MO|=|MF1|+|MO1|≥|F1O1|=223+22+-232=6.故选A.3.BC　易得A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).对于A,若|A1F2||F1A2|=4|F1F2|2,则(a+c)2=(4c)2,即a+c=4c,故a=3c,所以e=13,故A不符合题意.对于B,易得F1B1=(c,b),B1A2=(a,-b),因为∠F1B1A2=90°,所以F1B1·B1A2=ac-b2=ac-a2+c2=0,即e2+e-1=0,解得e=5-12(负值舍去),故B符合题意.对于C,若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2,则a2+b2×c=ab,即(2a2-c2)c2=a2(a2-c2),整理得c4-3a2c2+a4=0,所以e4-3e2+1=0,解得e2=3+52(舍去)或e2=3-52,所以e=5-12,故C符合题意.对于D,当PF1⊥x轴,PO∥A2B1时,P-c,b2a,所以kOP=b2a-c=−b2ac,又kA2B1=−ba,所以-b2ac=−ba,整理得b=c,所以a=2c,所以e=22,故D不符合题意.故选BC.4.C　由题意得F1(-c,0),F2(c,0),设点Pa2c,m,PF1的中点为K,则Ka2-c22c,12m,∵kPF1·kKF2=-1,即m-0a2c+c·12m-0a2-c22c-c=-1,∴m2=-a2c+c·a2c-3c≥0,∴a4-2a2c2-3c4≤0,∴3e4+2e2-1≥0,∴e2≥13,∴e≥33.又∵e∈(0,1),∴33≤e