高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案，共13页。学案主要包含了双曲线中的焦点三角形，双曲线中焦半径的最值，共渐近线的双曲线的设法等内容，欢迎下载使用。

一、双曲线中的焦点三角形
例1 若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为________．
答案 16
解析 双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，
故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5.
将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(100－100,2×32)＝0，且0°<∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝90°，
故＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
延伸探究
将本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．
解 由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).
反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a.
(2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式．
(3)通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值．
(4)利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(5)双曲线焦点三角形面积常用＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
跟踪训练1 设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P为双曲线C上一点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．
答案 4或eq \f(4\r(13),3)
解析 ①当∠F1PF2＝90°时
∵双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2.
根据c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(13)，
不妨设|PF1|>|PF2|，
∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝2eq \r(13)，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，
即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，
故(2eq \r(13))2＝62＋2|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝4.
②当∠PF1F2＝90°时，
根据双曲线通径公式可得|PF1|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(4,3)，
∴S＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×2eq \r(13)＝eq \f(4\r(13),3).
同理，当∠PF2F1＝90°时，S＝eq \f(4\r(13),3).
综上所述，△PF1F2的面积为4或eq \f(4\r(13),3).
二、双曲线中焦半径的最值
问题1 类比求椭圆的焦半径，你能求双曲线的焦半径的取值范围吗？
提示 |PF|≥c－a.
例2 (1)已知定点A，B且|AB|＝4，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则|MA|的最小值是( )
A．1＋eq \r(3) B．2 C．3 D.eq \r(2)－1
答案 C
解析 设定点A在点B的左边，
因为|AB|＝4，|MA|－|MB|＝2<|AB|，
所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则c＝2,2a＝2，a＝1，
当M在双曲线的右顶点时，|MA|有最小值，
最小值为a＋c＝2＋1＝3.
(2)已知A(－4,0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2eq \r(5)＋6 C．10 D．12
答案 C
解析 由题意知点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
反思感悟 求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决．
跟踪训练2 (1)平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6＋|PB|，则|PB|的最小值为________．
答案 2
解析 因为|PA|＝6＋|PB|，
所以|PA|－|PB|＝6<|AB|，
因此动点P在以A，B为左、右焦点的双曲线的右支上，a＝3，c＝5，从而|PB|的最小值为c－a＝2.
(2)已知定点A(3,1)，F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．5eq \r(2)＋4 C．5eq \r(2)－4 D.eq \r(2)＋4
答案 C
解析 设F1是双曲线的左焦点，
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，
所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝eq \r([3－－4]2＋1－02)＝5eq \r(2)，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，所以|PA|＋|PF1|－4≥5eq \r(2)－4，
所以|PA|＋|PF|的最小值为5eq \r(2)－4.
三、共渐近线的双曲线的设法
例3 (1)求与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
解 (1)设所求双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴eq \f(4,4)－eq \f(9,3)＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,8)＝1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
反思感悟 (1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1有相同的渐近线，且经过点M(eq \r(2)，－eq \r(2))．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
解 (1)设双曲线C：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝λ，
把点M(eq \r(2)，－eq \r(2))，代入方程得，λ＝－eq \f(1,2)，
∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由(1)知双曲线C：x2－eq \f(y2,2)＝1，
∴a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，
∴实轴长为2a＝2，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，
设双曲线C的一个焦点为(－eq \r(3)，0)，一条渐近线方程为y＝eq \r(2)x，
∴d＝eq \f(|－\r(3)×\r(2)|,\r(2＋1))＝eq \r(2)，
即焦点到渐近线的距离为eq \r(2).
1.知识清单：
(1)双曲线焦点三角形的面积．
(2)双曲线的焦半径．
(3)相同渐近线的设法．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：求焦半径时要注意点P与焦点是否在同一侧．
1．点M为双曲线eq \f(y2,2)－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 B
解析 设M(x，y)，|OM|＝eq \r(x2＋y2)，
∵点M在双曲线eq \f(y2,2)－x2＝1上，∴x2＝eq \f(y2,2)－1，|y|≥eq \r(2)，
∴|OM|＝eq \r(\f(y2,2)－1＋y2)＝eq \r(\f(3,2)y2－1)≥eq \r(2).
2．若双曲线与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
答案 D
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4eq \r(3))，所以λ<0，且－2λ＝(4eq \r(3))2，得λ＝－24.故选D.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝24.
4．已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2eq \r(5)＋4 C．8 D．7
答案 C
解析 如图所示，设圆心为C，
双曲线右焦点为A′(3,0)，
且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号．
课时对点练
1．若圆x2＋(y－eq \r(2))2＝r2与双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1没有公共点，则半径r的取值范围是( )
A．0答案 C
解析 若圆x2＋(y－eq \r(2))2＝r2与双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1没有公共点，则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点P(x，y)，圆心A(0，eq \r(2))，
则|PA|＝eq \r(x2＋y－\r(2)2)＝eq \r(2＋y2＋y－\r(2)2)＝eq \r(2y2－2\r(2)y＋4)，
当y＝eq \f(\r(2),2)时，|PA|取得最小值为eq \r(3)，
∴半径r的取值范围是02．与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(25,9)
答案 B
解析 双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，
焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(a,b)x，
即eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(5,3).
3．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－eq \r(5)，0)，点A的坐标为(0,2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 D
解析 由题意知双曲线的右焦点F1(eq \r(5)，0)，
即c＝eq \r(5)，|AF|＝eq \r(5＋22)＝3，
点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知
|PF|－|PF1|＝2a，
∴|PF|＝|PF1|＋2a，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|
＝|AF|＋|AP|＋|PF1|＋2a，
当点A，P，F1共线时，周长最小，
即|AF|＋|AF1|＋2a＝8，解得a＝1，
故离心率e＝eq \r(5).
4．已知F2是双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E：x2＋(y＋2)2＝1上一点，则|AB|＋|AF2|的最小值为( )
A．9 B．8 C．5eq \r(3) D．6eq \r(3)
答案 A
解析 双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1中，a＝3，b＝eq \r(3)，c＝eq \r(9＋3)＝2eq \r(3)，F1(－2eq \r(3)，0)，圆E的半径为r＝1，E(0，－2)，
∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝|AF1|＋6，|AB|≥|AE|－|BE|＝|AE|－1(当且仅当A，E，B共线且B在A，E间时取等号)．
∴|AB|＋|AF2|≥|AF1|＋6＋|AE|－1＝|AF1|＋|AE|＋5≥|EF1|＋5＝eq \r(2\r(3)2＋22)＋5＝9，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号．
∴|AB|＋|AF2|的最小值是9.
5．P是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 D
解析 易得双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M，F1三点共线(M为PF1的延长线与圆的交点)以及P与N，F2三点共线(N为线段PF2与圆的交点)时，所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
6．(多选)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是( )
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2 C．e1e2＝2 D.eq \f(e2,e1)>2
答案 BCD
解析 设△ABC的边长为2，由题意，可求得椭圆的离心率e1＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1，双曲线的离心率e2＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1，所以e2＋e1＝2eq \r(3)，e1e2＝2，e2－e1＝2，eq \f(e2,e1)＝2＋eq \r(3)>2，故选BCD.
7．焦点为(0,6)，且与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________________．
答案 eq \f(y2,12)－eq \f(x2,24)＝1
解析 由eq \f(x2,2)－y2＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x.
设所求双曲线方程为eq \f(x2,2)－y2＝λ(λ<0)，
所以eq \f(x2,2λ)－eq \f(y2,λ)＝1.
所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.
故双曲线方程为eq \f(y2,12)－eq \f(x2,24)＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案 eq \f(x2,4)－y2＝1
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2))
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝eq \r(5)，所以b＝1，
故双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即eq \f(x2,\f(λ,4))－eq \f(y2,\f(λ,9))＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，eq \f(λ,4)＝9，λ＝36，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1；
当λ<0时，－eq \f(λ,9)＝9，λ＝－81，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积．
解 (1)椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，焦点在x轴上，
且c＝eq \r(5)，
故设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝3，,b2＝2，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，
所以点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2eq \r(3)，
故|MF1|＝4eq \r(3)，|MF2|＝2eq \r(3)，
又|F1F2|＝2eq \r(5)，因此在△MF1F2中，
cs∠F1MF2＝eq \f(|MF1|2＋|MF2|2－|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|)＝eq \f(5,6)，
所以sin∠F1MF2＝eq \f(\r(11),6)，
＝eq \f(1,2)×|MF1|·|MF2|×sin∠F1MF2
＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(11),6)＝2eq \r(11).
11．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cs∠F1PF2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2eq \r(6)，①
|d1－d2|＝2eq \r(3)，②
①2＋②2，得deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cs∠F1PF2＝eq \f(1,3).
12．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．1 B．4 C．7 D．9
答案 B
解析 在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝eq \r(2)，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
∴在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13．若双曲线eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，
已知|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，
解得|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2eq \r(n＋1)，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2＝1.
14．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0，则|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|的值为________．
答案 2eq \r(10)
解析 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)．
设点P(x，y)，
则eq \(PF1,\s\up6(—→))＝(－eq \r(10)－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(eq \r(10)－x，－y)．
∵eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|＝eq \r(|\(PF1,\s\up6(—→))|2＋|\(PF2,\s\up6(—→))|2＋2\(PF1,\s\up6(—→))·\(PF2,\s\up6(—→)))＝eq \r(2x2＋y2＋20)＝2eq \r(10).
15．已知P为双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2eq \r(7) B．10 C．8 D．6
答案 B
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以eq \f(1,2)(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝eq \f(1,2)·2c·R＝10.
16.如图所示，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12eq \r(3)，求双曲线的标准方程．
解 由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)
＝eq \f(|PF1－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，
∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)b2.
∴eq \r(3)b2＝12eq \r(3)，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.