人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算优秀导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算优秀导学案，共16页。学案主要包含了空间向量的概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积等内容，欢迎下载使用。




1.学生经历向量及其运算由平面向空间推广的思维过程，掌握空间向量的加法、减法、数乘运算．


2.学生理解空间向量数量积的概念、性质和计算方法，掌握“夹角公式”，“求模公式”等, 能熟练地进行向量运算.


3.学生重点掌握利用向量的方法求立体几何中的平行、垂直、夹角及长度问题的方法.学生在联系、类比与转化的过程中提高运算、抽象、推理等数学思维能力





重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积的计算方法.


难点：利用向量的方法解决简单的立体几何问题.





1．平面向量


(1)平面向量的定义


在平面，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．


(2)平面向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.





(3)特殊向量


2.平面向量的加法、减法


平面向量的加、减法运算(如图)：





eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b；


eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝a－b.


3．平面向量加法的运算律


(1)交换律 a＋b＝b＋a；


(2)结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．


4．平面向量的数乘运算


(1)向量的数乘：实数λ与平面向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．


(2)平面向量的数乘运算满足分配律与结合律：


分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.


5．平面向量的夹角


6．空间向量的数量积


(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.


(2)数量积的运算律


(3)数量积的性质








探究一、空间向量的概念


思考1：观察平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中. 如果能，尝试说出推广之后的不同之处；如果不能说明理由.





1．空间向量


(1)空间向量的定义


在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．


(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.





(3)特殊向量


不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.


一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.


例1. 如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.


（1），； （2），；


（3），，； （4），，；





总结：空间中任意两个向量都是共面的；但空间中任意三个向量不一定共面;


探究二、空间向量的线性运算


1.空间向量的加法及其运算律


思考1：回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？





思考2：向量加法的运算法则(1)交换律 a＋b＝b＋a；


(2)结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．


它们在空间中是否成立呢？








2.空间向量的减法与数乘运算


任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法


来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算.


空间向量的减法： a-b=a＋(-b)


空间向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．


（1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有


①当λ>0时，λa与向量a方向相同；


②当λ<0时，λa与向量a方向相反；


（2）当λ=0或a=0时，λa=0.


（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：


分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.


例2.如图1-1-10所示，三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简，并在图中作出表示化简结果的向量.











探究三、空间向量的数量积


平面内两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角.


思考1：观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处.








例3. 如图1-1-11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角:





与；（2）与；


（3）与；（4）与；











思考2：类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b的定义？











思考3：请你类比平面向量说出a·b的几何意义．








思考4：请你类比平面向量说出空间向量的数量积a·b有哪些性质．























第6条性质可以按如下方式进行理解


当a，b，c共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立.


当a，b，c不共面时，显然|c|≠0，设 c0 =,即c0是与c同向的单位向量，如图1-1-14所示，





设是一个长方体。点O与c0都在直线AB上，且= a， =b，


因此a在c0 上的投影为a，=，b在c0 上的投影为b，=，且


=a+b. a+b在c0上的投影为.


注意到=a，+b，.这就说明( a+b)·c0= a·c0+b·c0，


在这个式子两边同时乘以|c|，即可知（a+b)·c=a·c+b·c.





例4.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→)).








两个重要的公式


①求模公式：|a|＝eq \r(a·a)


②夹角公式：若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)


例5.（1） 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a＋b|＝________.


（2）已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，则cs〈a，b〉＝________.








例6. 在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．








1.下列命题中，假命题是( )


A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小


B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同


C.只有零向量的模等于0


D.共线的单位向量都相等


2.在下列命题中：


①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；


②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；


③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；


④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.


其中正确命题的个数为( )


A.0 B.1 C.2 D.3


3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )


A. a＝b B. a＋b为实数0


C. a与b方向相同 D. |a|＝3


4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BC,\s\up14(―→)))＋eq \(CC,\s\up14(―→))1；②(eq \(AA,\s\up14(―→))1＋eq \(A1D,\s\up14(―→))1)＋eq \(D1C,\s\up14(―→))1；③(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1)＋B1C1；④(eq \(AA,\s\up14(―→))1＋eq \(A1B,\s\up14(―→))1)＋eq \(B1C,\s\up14(―→))1.其中运算的结果为eq \(AC,\s\up14(―→))1的有___个.


5.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up14(―→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up14(―→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up14(―→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____.


6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.


7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.








1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．


2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．


3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．


参考答案


知识梳理


学习过程


思考1：答：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.


例1. 答：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；


（3）共面向量；（4）不共面向量.


思考1： 答：如图1-1-4，因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.





思考2： 答：如图可知，两个运算法则均成立.


例2.解：





思考1：答：由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间两个非零向量的夹角也可以按照上述的方式进行定义.但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间内选定一点”。


特别地，如果=eq \f(π,2)时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.





例3. 解：（1）45°（2）135°


（3）90°（4）180°





思考2： 答 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.


即a·b=|a||b|cs〈a，b〉


思考3： 答 如图1-1-12，向量a在向量b上的投影a’，a与b的数量积等于a在b上的投影a’的数量与b的长度的乘积.





思考4：


答：（1）a⊥b⟺ a·b=0；


（2）a·a=|a|2=a2；


（3）|a·b|≤|a||b|；


（4）(λa)·b=λ(a·b)；


（5）a·b=b·a (交换律）；


（6）（a+b)·c=a·c+b·c (分配律）；





例4.解 如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，





eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.


(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝b·[eq \f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.


(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.


(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2.


例5.答案（1） eq \r(7)


解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cs eq \f(π,3)＋22＝7，∴|a＋b|＝eq \r(7).


（2）答案 eq \f(1,8)


解析 将|a－b|＝eq \r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求得cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).


例6 解: 由题意知|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，


|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，


∵PA⊥平面ABCD，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，


∵AB⊥AD，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0，


∵AB⊥BC，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，


∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，


又∵|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，


∴cs〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(PB,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(PB,\s\up6(→))||\(DC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，


∴〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.





达标检测


1.答案：D


解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.


2.答案A


解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.


3.答案D


解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.


4.答案 4


解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：


①(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BC,\s\up14(―→)))＋eq \(CC,\s\up14(―→))1＝eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \(CC,\s\up14(―→))1＝eq \(AC,\s\up14(―→))1；


②(eq \(AA,\s\up14(―→))1＋eq \(A1D,\s\up14(―→))1)＋eq \(D1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AD,\s\up14(―→))1＋eq \(D1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AC,\s\up14(―→))1；


③(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1)＋eq \(B1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AB,\s\up14(―→))1＋eq \(B1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AC,\s\up14(―→))1；


④(eq \(AA,\s\up14(―→))1＋eq \(A1B,\s\up14(―→))1)＋eq \(B1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AB,\s\up14(―→))1＋eq \(B1C,\s\up14(―→))1＝eq \(AC,\s\up14(―→))1.


所以4个式子的运算结果都是eq \(AC,\s\up14(―→))1.


5.答案－8


解析 eq \(BD,\s\up14(―→))＝eq \(CD,\s\up14(―→))－eq \(CB,\s\up14(―→))＝e1－4e2，eq \(AB,\s\up14(―→))＝2e1＋ke2，


又A、B、D三点共线，由共线向量定理得eq \(AB,\s\up14(―→))＝λeq \(BD,\s\up14(―→))，


∴eq \f(1,2)＝eq \f(－4,k).∴k＝－8.


6.答案 6


解析 由a⊥b，得a·b＝0，


∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.


7.





解 如图所示.∵eq \(BA,\s\up14(―→))1＝eq \(BA,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1，eq \(AC,\s\up14(―→))＝eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BC,\s\up14(―→))，


∴eq \(BA,\s\up14(―→))1·eq \(AC,\s\up14(―→))＝(eq \(BA,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1)·(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BC,\s\up14(―→)))＝eq \(BA,\s\up14(―→))·eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BA,\s\up14(―→))·eq \(BC,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1·eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(BB,\s\up14(―→))1·eq \(BC,\s\up14(―→)).


因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，


∴eq \(AB,\s\up14(―→))·eq \(BC,\s\up14(―→))＝0，eq \(BB,\s\up14(―→))1·eq \(AB,\s\up14(―→))＝0，eq \(BB,\s\up14(―→))1·eq \(BC,\s\up14(―→))＝0且eq \(BA,\s\up14(―→))·eq \(AB,\s\up14(―→))＝－a2.


∴eq \(BA,\s\up14(―→))1·eq \(AC,\s\up14(―→))＝－a2.


又eq \(BA,\s\up14(―→))1·eq \(AC,\s\up14(―→))＝|eq \(BA,\s\up14(―→))1|·|eq \(AC,\s\up14(―→))|cs〈eq \(BA,\s\up14(―→))1，eq \(AC,\s\up14(―→))〉，


又∵〈eq \(BA1,\s\up14(―→))，eq \(AC,\s\up14(―→))〉∈[0，π]，∴〈eq \(BA,\s\up14(―→))1，eq \(AC,\s\up14(―→))〉＝120°，


又∵异面直线所成的角是锐角或直角，


∴异面直线BA1与AC成60°角.


∴cs〈eq \(BA,\s\up14(―→))1，eq \(AC,\s\up14(―→))〉＝eq \f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq \f(1,2).


名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
〈a，b〉
范围
〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a__⊥__b
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)
③若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
④|a·b|≤|a|·|b|
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量