人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系精品学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系精品学案，共15页。学案主要包含了平面向量坐标表示及其运算，探究新知等内容，欢迎下载使用。




1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.


2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.


3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.





重点：掌握空间向量坐标表示并能进行向量的线性运算与数量积运算.


难点：会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题





一、平面向量坐标表示及其运算


已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示


+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=


//=0；⊥=0


设，则或


如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，


那么； cs =（）





一、情境导学


我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”


吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入 ,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.


在平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标，空间向量是否可以引进类似的坐标，这就是本小节我们要研究的内容。





二、探究新知


问题1：如图所示，已知OA =e1,OB =e2, OC =e3,且OADB-CEGF是棱长为1的正方体, OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，OF1=2,。


（1）设OG = a ，OC1= b，将向量a与b都用e1, e2, e3表示；


（2）如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底


e1, e2, e3下的分解式？





1.空间中向量的坐标


一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.


1.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是( )


A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10)D.(4,3,2)


2.空间向量的运算与坐标的关系


空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).


特别地,(1)如果μ,v是两个实数,那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).


(2)|a|=a·a=x12+y12+z12.


(3)cs=a·b|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22(a≠0,b≠0).


2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于( )


A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4)


3.向量a=(2,-3, 3),b=(1,0,0),则cs= .





3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直


设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b⇔x2x1=y2y1=z2z1(其中x1y1z1≠0);


a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.


名师点析 若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,


即a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1.


4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( )


A.x=6,y=15 B.x=3,y=152 C.x=3,y=15D.x=6,y=152








问题2：由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O，而且空间向量的始点也是O时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。


（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？





（2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？


4.空间直角坐标系


为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.


轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.





点睛 (1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).


(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:


Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).


(3)在空间中建立了空间直角坐标系之后,向量OP的坐标与P点的坐标相同,即OP=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)⇔P(x,y,z).


5. (1)点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是( )


A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1) C.(1,2,-1)D.(-1,-2,-1)


(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标: AM= ,OB1= .

















5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标


设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则


OA=(x1,y1,z1),OB=(x2,y2,z2),所以AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),


AB=|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.


设线段AB的中点为M(x,y,z),则OM=(x,y,z),


OM=12(OA+OB)=12(x1+x2,y1+y2,z1+z2)


=x1+x22,y1+y22,z1+z22,所以点M的坐标为x1+x22,y1+y22,z1+z22.


6.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是( )


A.72,1,-2 B.12,2,3 C.(-12,3,5) D.13,43,2








例1 (1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)·(a-2b)=________.


(2)已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cs等于( )


A.13B.16C.63D.66











对于空间向量坐标的计算有以下两种途径:


(1)直接计算问题


首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.


(2)由条件求向量或点的坐标


首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程(组)求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.


跟踪训练1 若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)= -2,则x= .











例2已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB, b=AC.


(1)若|c|=3,c∥BC,求c;


(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.











变式： 若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.











判断空间向量垂直或平行的步骤.


(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.


(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或x1x2=y1y2=z1z2(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.


2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨论思想的应用.


跟踪训练2正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD=λDQ,求λ的值.














例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.


(1)求证:EF⊥CF;(2)求cs;(3)求CE的长.














通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.


跟踪训练3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,


∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.


(1)求BN的长; (2)建立直角坐标系,求cs.

















1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若OM=AB,则点B的坐标应为( )


A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)


2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是( )


A.(0,0,0) B.(2,-1,-4) C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12)


3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是( )


A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)


4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 .


5.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AB·AC= ,向量AB与AC的夹角为 .


6.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长.(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.











参考答案：


知识梳理


学习过程


问题1：答案：（1）a=e1+ e2+e3 ， b=e1-2 e2+12e3


（2）若 p=xe1+ ye2+ze3,则p=x,y,z


1.解析:由题意知p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).答案:A


2.解析:cs=a·b|a||b|=2×1+0+022+(-3)2+(3)2 ×12+02+02 =12. 答案:12


3.解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).


答案:D


4.解析:因为a∥b,则23=4x=5y,解得x=6,y=152.


答案:D


5.





解析:DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1两两互相垂直,


设12DA=e1=(1,0,0),12DC=e2=(0,1,0),12DD1=e3=(0,0,1).


∵AM=AD+DM=-DA+12DD1=-2e1+e3,∴AM=(-2,0,1).


∵OB1=OB+BB1=12DB+BB1=12DA+12DC+DD1=e1+e2+2e3,


∴OB1=(1,1,2).


答案:(1)A (2)(-2,0,1) (1,1,2)


6.答案:B


例1 解析:(1)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.


(2)由已知得a=(1,2,3), b=(1,0,3),故cs=a·b|a||b|=1+0+36×4=63.


答案:(1)-244 (2)C


跟踪训练1 解析:据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2. 答案:2


例2解:(1)因为BC=(-2,-1,2),且c∥BC,


所以设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ),得|c|=(-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2 =3|λ|=3,


解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).


(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).


又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,


即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-52.


变式：解:由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),


∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,


即(k+1)(k-2)+k2-8=0,解得k=-2或k=52,故所求k的值为-2或52.


跟踪训练2解:如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),


由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),


因为3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),


所以3a-3=-a,解得a=34,所以点P的坐标为34,34,1.


由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),





因为PQ⊥AE,所以PQ·AE=0,所以b-34,b-34,-1·-1,0,12=0,


即-b-34-12=0,解得b=14,所以点Q的坐标为14,14,0.


因为BD=λDQ,所以(-1,-1,0)=λ14,14,0,所以λ4=-1,故λ=-4.


例3 (1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,


建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,





则D(0,0,0),E0,0,12,C(0,1,0),F12,12,0,G1,1,12.


所以EF=12,12,-12,CF=12,-12,0,CG=1,0,12,CE=0,-1,12.


因为EF·CF=12×12+12×-12+-12×0=0,所以EF⊥CF,即EF⊥CF.


(2)解:因为EF·CG=12×1+12×0+-12×12=14,


|EF|=(12) 2+(12) 2+(-12) 2 =32,|CG|=12+02+(12) 2 =52,


所以cs=EF·CG|EF||CG| =1432×52=1515.


(3)解:|CE|=|CE|=02+(-1)2+(12) 2 =52.


跟踪训练3 解:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,


建立空间直角坐标系Cxyz.





(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),


∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2 =3,∴线段BN的长为3.


(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),


∴A1B=(-1,1,-2),B1C=(0,-1,-2),


∴A1B·B1C=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3.


又|A1B|=6,|B1C|=5,∴cs=A1B·B1C|A1B||B1C| =3010.


达标检测


1.解析: OM=AB=OB-OA,OB=OM+OA=(9,1,1).因为O为坐标原点,则点B坐标为(9,1,1).


答案:B


2.解析:设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).


答案:C


3.解析:若a∥b,b≠0,必有b=λa.则b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均与a不平行.


答案:ACD


4.解析:依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,


而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=75.


答案:75


5.解析:∵AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),∴|AB|=32,|AC|=2,


AB·AC=0×(-1)+3×1+3×0=3,


∴cs=AB·AC|AB||AC| =12.又∵∈[0,π],∴=π3.


答案:3 π3


6.解:(1)如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),EF=(-1,0,1),∴|EF|=1+0+1=2.


(2)∵AD1=(-2,0,2)=2EF,∴EF∥AD1,


又AD1⊂平面AA1D1D,EF⊄平面AA1D1D,


∴EF∥平面AA1D1D.


(3)CD=(0,-2,0),A1D=(-2,0,-2),


∴CD·EF=0,EF·A1D=0,即EF⊥CD,EF⊥A1D,又CD∩A1D=D,且EF⊄平面A1CD,∴EF⊥平面A1CD.





向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
减法
a-b
a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
数乘
λa
λa=(λx1,λy1,λz1)
数量积
a·b
a·b=x1x2+y1y2+z1z2