第一章 专题强化练1 空间向量的运算（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

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专题强化练1　空间向量的运算1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于(　　)A.32　　　　B.−32　　　　C.±32　　　　D.12.(多选题)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　)A.向量a,b的夹角为π3B.(a+2b)·(b+c)=7C.(a+5b)⊥cD.a∥(b-c)3.(多选题)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则AB·APi的值是(　　)A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.34.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点,H是△ABD内的动点(含边界),且EH∥平面ACD,则CA·EH的取值范围是(　　)A.[0,3]　　　　B.12,3　　　　C.12,112　　　　D.3,1125.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC1的取值范围是　　　　. 6.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=12,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=52,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0+y0=　　　　,|b|=　　　　. 7.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求CE与AC'夹角的余弦值.答案与分层梯度式解析专题强化练1　空间向量的运算1.A　∵a⊥b,∴a·b=0.∵(3a+2b)⊥(λa-b),∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,∴2λ-3=0,解得λ=32.2.CD　由题意得|a|=2,|b|=2,a·b=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=-12×2=−12,因为θ∈[0,π],所以θ=2π3,故A错误;易得a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,故B错误;易得a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,故C正确;易得b-c=(-3,3,0),因为b-c=-3a,所以a∥(b-c),故D正确.故选CD.3.AB　由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,…,8),则AB·APi=|AB|·|APi|·cos∠BAPi=|AB|·|AB|=1;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以AB·APi=0.故AB·APi的值为0或1.4.B　设F,G分别为AB,BD的中点,连接FG,EF,EG,如图.易得FG∥AD,EF∥AC,EG∥CD,因为FG⊂平面EFG,AD⊄平面EFG,所以AD∥平面EFG.同理,AC∥平面EFG.又因为AC,AD⊂平面ACD,AC∩AD=A,所以平面EFG∥平面ACD.因为EH∥平面ACD,所以H为线段FG上的点.因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.因为∠BDC=90°,所以BD⊥CD.又AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD,因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABD,所以EG⊥FG.因为BD=2AB=2CD=2,所以FG=12AD=52,BC=5,EF=12AC=62,所以CA·EH=2EF·(EF+FH)=2EF2+2EF·FH=2EF2+2|EF|·|FH|cos (π-∠EFG)=2EF2−2|EF|·|FH|cos∠EFG=2EF2−2|FH|·|FG|=3−5|FH|.因为|FH|∈0,52,所以CA·EH∈12,3.故选B.5.答案　-12,0解析　解法一:以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),C1(0,1,1).设点P的坐标为(x,y,1),0≤x≤1,0≤y≤1,∴PA=(1−x,−y,−1),PC1=(-x,1-y,0),∴PA·PC1=−x(1−x)−y(1−y)+0=x2−x+y2−y=x-122+y-122−12,∴当x=y=12时,PA·PC1取得最小值,最小值为-12;当x=0或1,且y=0或1时,PA·PC1取得最大值,最大值为0.故PA·PC1的取值范围是-12,0.解法二:连接D1P,D1A.设D1P=xD1A1+yD1C1(0≤x≤1,0≤y≤1),则PA=D1A−D1P=D1D+D1A1−xD1A1−yD1C1=D1D+(1−x)D1A1−yD1C1,PC1=D1C1−D1P=D1C1−xD1A1−yD1C1=(1−y)D1C1−xD1A1,∴PA·PC1=[D1D+(1−x)D1A1−yD1C1]·[(1-y)·D1C1−xD1A1]=−x(1−x)−y(1−y)=x-122+y-122−12,易知当x=y=12时,PA·PC1取得最小值,为-12 ;当x=0或1,且y=0或1时,PA·PC1取得最大值,为0.∴PA·PC1的取值范围是-12,0.6.答案　3;22解析　根据题意不妨设e1=(1,0,0),e2=12,32,0.设b=(m,n,t),则由b·e1=m=2,b·e2=12m+32n=52,得m=2,n=3,故b=(2,3,t),所以|b-(xe1+ye2)|=2-x-y22+3-32y2+t2=x2+y2-4x-5y+xy+7+t2=x+y-422+34(y-2)2+t2,同理,|b-(x0e1+y0e2)|=x0+y0-422+34(y0-2)2+t2=1,所以当x0+y0-42=0,y0-2=0,即x0=1,y0=2时,|b-(xe1+ye2)|有最小值|t|,故|t|=1,解得t=±1,所以x0+y0=3,|b|=4+3+1=22.7.解析　解法一:由题意得,CA,CB,CC'两两互相垂直.以CA的方向为x轴正方向,CB的方向为y轴正方向,CC'的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系(图略).设CA=CB=CC'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),A'(2,0,2),D(1,1,0),A(2,0,0),C'(0,0,2).(1)证明:易得CE=(0,2,1),A'D=(-1,1,-2).∵CE·A'D=0,∴CE⊥A'D.(2)由(1)得CE=(0,2,1).又AC'=(-2,0,2),∴cos=12|a|22×52|a|2=1010.∴CE与AC'夹角的余弦值为1010.1.A2.CD3.AB4.B