高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算学案设计

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考点一 平面向量的线性运算
【例1-1】（24-25湖南）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)
(6)；
(7)；
(8)；
(9)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)；(8)；(9).
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）；
（5）；
（6）.
（7）；
（8）；
（9）.
【一隅三反】
1．（2024高一·潮州）化简：
(1)．
(2)．
(3)
(4)
(5)；
(6)．
(7)．
(8)．
(9)；
(10)．
【答案】(1).(2).(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)
【解析】（1）.
（2）.
（3）原式.
（4）原式
（5）．
（6）.
（7）.
（8）；
（9）；
（10）.
考点二 平面向量的共线定理
【例2】（2024辽宁沈阳 ）已知两个非零向量与不共线.
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和共线.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
（2）若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
【一隅三反】
1．（2024海南）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以存在实数使得，，
所以，即．
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
2．（24-25高一·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D
【答案】A
【解析】对A，，
则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；
对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；
对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；
对D，，因为，
故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.
故选：A.
3．（24-25山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．
C．1或D．或
【答案】B
【解析】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选：B
4．（2024河南）已知向量不共线，向量与共线，则 .
【答案】
【解析】因为向量不共线，向量与共线，所以，
即，解得.故答案为：
考点三 平面向量的数量积
【例3-1】（24-25甘肃）已知等边的边长为1，求：
(1)；(2)；(3).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）与的夹角为，.
（2）与的夹角为，.
（3）与的夹角为，.
【例3-2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量与的夹角，且.
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
.
（2）
.
【例3-3】（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（ ）
A．B．向量与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】对于A： ，则，故A正确；
对于C：，故C错误；
对于B：，则向量与的夹角为，故B错误；
对于D：在上的投影向量为，故D正确；
故选：AD
【一隅三反】
1．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（ ）
A．B．C．7D．13
【答案】A
【解析】由可得
，
所以.
故选：A.
2．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【解析】，，与的夹角为，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选：D.
3．（23-24高一下·四川自贡·期末）（多选）设向量满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．向量与夹角为
【答案】AC
【解析】向量满足，且，
则，所以，故，A正确；
，B错误；
，C正确；
由，得，D错误.
故选：AC
4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量满足.
(1)若向量的夹角为，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求在方向上的投影向量.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）.
（2）由，得，
所以.故.
（3）由题意得，即，得，
所以.因为，所以，
在方向上的投影向量：
5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
考点四 平面向量的最值问题
【例4-1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】C
【解析】因为则，则，
所以，所以，
，
故选：C.
【例4-2】（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)，
所以，所以，
因为向量，为单位向量，且，
所以，
所以，所以的最小值为.
故选：A
【例4-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔 ）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解析】因为三点共线，
所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，
由，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为4.故选：B
【一隅三反】
1．（2024江西）已知向量满足，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法1、因为，所以，
因为，，所以，解得，
则或，解得，则的取值范围为．
［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误．
方法2、
如图，设，则，，
因为，则，
当时，，且；
当时，，所以的取值范围为．
故选：C
2．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，为非零向量，且满足，，则（ ）
A．，夹角的取值范围是B．的取值范围是
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】设，的夹角为，由，，得，
所以，解得，当且仅当，即时取“”，
所以，所以夹角的取值范围是，A正确；
由，得，等价于，
解得，所以的取值范围是,，选项B正确；
因为，，，所以,，
即的取值范围是,，C错误；
，
由,，得,，所以,，D正确．
故选：ABD．
3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）（多选）已知平面向量，且.
(1)求与的夹角的值；
(2)当取得最小值时，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，可得，
又，所以，又，所以；
（2）因为，
所以.
所以的最小值为，且取到最小值时.
单选题
1．（24-25 广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
2．（24-25 北京朝阳·阶段练习） （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
3．（2024广东）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形
【答案】C
【解析】由已知得，，
故，且，所以四边形是梯形．故选：C.
4．（22-23 甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为向量与的夹角为，所以，
所以，故选：A.
5．（2024吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得，
由，得，解得，所以.故选：C
6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】D
【解析】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
7．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】向量在向量上的投影向量为，
，解得.
故选：A.
8．（2024·重庆 ）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，即，则，
因为，则，则，则，
则，则.
故选：B.
9．（2024·北京 ）设为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为为非零向量，若，则，
所以，，则，
反之若，所以，
所以，由于为非零向量，故，
所以，“”是“”的充要条件.
故选：C.
10．（2024黑龙江）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，化简得，
解得或（舍去），则，
因为，
，
所以，
又，所以．
故选：D.
多选题
11．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．与的夹角为
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，即，解得，A正确；
因为，所以B错误；
因为，所以与的夹角为，C正确，D错误．
故答案为：AC
12．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【解析】对于A，由，可得，故A正确；
对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确；
对于C，由，解得，因，故，即C错误；
对于D，由，得，即，故，即D错误.
故选：AB.
13．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．在方向上的投影向量为
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【解析】对于A，因为，是单位向量，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，是单位向量，
所以在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为，所以，
又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，
所以，所以，故D错误；选：AB．
14．（2025山东菏泽 ）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．向量夹角为60°
【答案】AC
【解析】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确；
，故，所以B不正确，，所以，正确．
故选：．
15．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）若向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．的最大值为
【答案】AB
【解析】因为，所以①，
因为，所以②，
得，，即.
对于A，因为，所以由①得，，解得，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
又因为，所以，所以，综上，，故B正确；
对于C，由，得，
因为，所以，，
可得，或解得，或，故C错误；
对于D，由，得，
因为，所以，则，
所以的最大值不是，故D错误.故选：AB.
填空题
16．（23-24高一下·河北保定·期末）已知向量的夹角为，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，可得，
又因为且向量的夹角为，所以，
可得，解得或，
因为，所以（舍去），所以．
故答案为：．
17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】
【解析】，，，
则，解得，
故，
故向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
18．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为 ；
【答案】
【解析】根据题意可得，
再由投影向量定义可得在上的投影向量为：
故答案为：
19（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】设与的夹角为，由，可得，即，
即，又，即，即，
又，所以故答案为：.
20（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，，则的最大值为 ，最小值为 .
【答案】 6 2
【解析】设的夹角为，则，
因为，，所以
，
因为，所以，
所以，
即，
所以的最大值为6，最小值为2.
故答案为：①6；②2.
21．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ．
【答案】3
【解析】由，得，
，
则，
即，整理得，
即，所以.
故答案为：3
解答题
22．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；
(1)，
(2)，
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】（1）；
（2）；
（3）.
（4）；
（5）；
（6）.
23（2024吉林长春·期末）已知向量与的夹角，且，.
(1)求；
(2)在上的投影向量；
(3)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得，
， 所以.
（2）在上的投影向量为.
（3），则，
所以向量与夹角的余弦值为.
24．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为向量与的夹角为，且，
所以，
所以；
（2）因为向量与的夹角为，且，
所以，
若，即，解得，
当与共线时，此时满足，解得，
此时与共线，且方向相反，
故与夹角为钝角时，且，
所以的取值范围是．
25（2024·上海）设是不共线的两个非零向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若，且三点共线，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.
【解析】证明：（1），所以.
又因为为公共点，所以三点共线.
（2）设，则
解得或
所以实数的值为.
（3），
因为三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
26（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)k不存在
(3)
【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°，
可得
因为，故；
又，所以可得；
（2）因为，且，
所以
化简得，显然不成立，
故k不存在；
（3）因为，故，
所以，
.
所以的值为.