人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用精品导学案

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考点一 距离、高度和角度的测量
【例1-1】（2024河北）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，
气球的高度是，所以，，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以．
故选：C
【例1-2】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为 （ ）
A．24米B．23.5米C．23.65米D．22.65米
【答案】D
【解析】由，，得，
故米，由得，
在中由余弦定理可得，
解得米，
故米，
由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得，
故米，
故楼高米.
故选：.
【一隅三反】
1．（2025北京）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E.
由已知得，，
则，则，，
设，则，
又，则在中，由余弦定理得，
即，解得，所以，
又因为，所以.
故选：C
2．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，
解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即，
所以.
故选：.
3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．南偏东方向B．南偏西方向
C．北偏西方向D．北偏西方向
【答案】D
【解析】如图，

由题意，在中，，，，
由正弦定理得，
所以，
在中，因为，，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，故为锐角，
故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向.
故选：D.
4．（24-25山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ．
【答案】
【解析】因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
在中，已知，
由正弦定理得，
所以；
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
所以
故答案为：.
考点二 几何中的正余弦定理
【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，，
(1)求；
(2)求BC的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，，，则、均为锐角，
则，，
.
（2）在中，由正弦定理得，，
由，得，在中，由余弦定理得：，
所以.
【一隅三反】
1．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．

(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，又，
所以．在中，由余弦定理得：
，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，即，
解得，又，所以，
所以，
，
，故．
2．（2024湖北）如图，四边形为梯形，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，且，解得，．
而，所以，
所以
因为，所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
因为，所以．
在中，由余弦定理得
，
所以．
3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
4．（24-25 江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
考点三 正余弦定理与三角函数性质的综合
【例3】（2024重庆沙坪坝·阶段练习）设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题设，，
所以，当时的最小值为.
（2）由，得：，则，又，
所以，故，则.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，
所以.
由，则.
【一隅三反】
1．（2024·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
2．（2024·上海闵行 ）已知函．
（1）当的最小正周期为时，求的值;
（2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）函数.
∴f（x）＝3×＝sin（2ωx+）+，
当f（x）的最小正周期为2π时，＝2π，解得ω＝；
（2）当ω＝1时，，∴sin（2×）+＝3，又A为三角形的内角，解得A＝.
且，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，∴c2﹣6c+8＝0，解得c＝2或4.
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6.
3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）（1）因为，
可得
，
因为，所以.
（2）解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
考点四 三角形中的边长与周长中的最值
【例4-1】（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)(2)最大值为6
【解析】（1）由b及正弦定理得
所以
因为
化简得
因为，所以，所以
所以.
（2）法一：由余弦定理
有
因为
所以
即，所以，当且仅当时等号成立.
所以的周长.
即周长的最大值为6.
法二：由正弦定理，即
的周长
因为，所以
所以
因为，所以当时取得最大值为6
法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得
使得，
要使的周长最大，则需满足长度最大
将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值
由图2可得.当为该圆直径时，最大.
即
所以.

【例4-2】（24-25 河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且．
(1)求△的外接圆半径；
(2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，
由，
可得：，即，
又，所以，
所以，，
所以，
所以△的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
所以，则，
所以周长的取值范围为．
【一隅三反】
1．（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题，
因为，所以．
（2）由（1），
（当且仅当时取等号）
则，又，则．
2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由可得，
，故，
，，
由于，
由于为锐角三角形，因此，故.
（2）,
由于，所以，故，
.
3．（2025·湖南永州 ）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求的外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由可得，
故，由于，故
由余弦定理得
由于，所以，
，根据解得，
所以的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得 ，
所以，则，
所以，则.
所以周长的取值范围为.
考点五 三角形面积的最值
【例5-1】（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以.
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
【例5-2】（24-25湖南长沙）在锐角中，角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理得：，即，，
，，又；
（2）由正弦定理得：,,
，在锐角中：，解得：，
，,，则.
【一隅三反】
1．（23-24 云南曲靖·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）.
(1)求角；
(2)，求的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】(1)选①或②或③，(2)
【解析】（1）解：若选①，因为，由正弦定理可得，
因为、，则，，所以，，
所以，，故；
若选②，因为，
由正弦定理可得，
所以，，由余弦定理可得，
因为，故；
若选③，因为，
由正弦定理可得
，
所以，，
因为、，则，则，
即，可得，
因为，则，
所以，，故.
（2）解：因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
2．（24-25 ·贵州黔南 ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______．
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】（1）若选择①．由，得，
所以，所以，解得或．
又因为，故．
若选择②．
由正弦定理得．
又因为，所以，所以，
即，整理可得，解得．
又因为，故．
若选择③：．
由正弦定理得．
又因为，所以，所以，即．
可得，
又因为，所以，所以，故．
（2）由（1）可知，且，由正弦定理及，
可得．
又因为在锐角三角形中，，所以，
故，所以．
所以面积，所以，
所以面积的取值范围是．
3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m.
(1)求两区域边界的长度；
(2)区域为锐角三角形.
①若，求面积的最大值；
②若，求面积的取值范围.
【答案】(1).
(2)①；②
【解析】（1）（1）在 中, ,所以 ，
因为 ,所以即 是直角三角形,
所以
（2）①在 中, 由余弦定理知,
所以
即 ，当且仅当 时，等号成立,
所以 面积
故 面积的最大值为 .
②在 中, 由正弦定理知
所以
因为 为锐角三角形,所以 , 解得 ,
所以 ,所以 ,
所以 面积
故 面积的取值范围为
考点六 角平分线与中线问题
【例6-1】（2024江苏南通）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点D是BC边上的一点，且______.
求线段AD的长.
①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】（1）在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且
，可得， 由余弦定理可得
，
（2）选①：AD是的高，
由余弦定理得，所以
所以根据等面积法得，；
选②：是的中线，
，，
，，，
；
选③：AD是的角平分线.由于，
所以，
解得
【例6-2】（23-24 ·云南保山 ）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求的大小；
(2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值.
条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线.
【答案】(1)(2)3
【解析】（1）由余弦定理可得：，所以，，
又，故.
（2）选择条件①：在中，由余弦定理，得，
即，故，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以，
所以，所以
故的最大值为3.
选择条件②：（方法一）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
选择条件②：（方法二）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
代入上式得，
由得，
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
【一隅三反】
1．（2024湖北宜昌 ）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）6 （2）
【解析】（1）根据题意，，由正弦定理，有.
又，，∴；又由，解得，即
（2）根据题意，因为平分，所以，
故，变形可得，
由（1），又，则，
所以.
2．（2024新疆昌吉）如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线.
（1）求线段的长；
（2）求的面积.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）根据题意，，∴.
又，，∴；
又由，解得，即，则.
在中，由余弦定理得，解得.
（2）根据题意，因为平分，所以，故，
变形可得，，则，
所以.
3．（2024福建·期中）已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
(1)求角A；
(2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择一个填到上面的横线上，并证明.
①AD是的中线；
②AD是的角平分线.
【答案】(1)；(2)选择①证明见解析；选择②证明见解析.
【解析】（1）在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，而，解得：，所以.
（2）选择①，AD是的中线，则，于是得，
而AD=2，则有，当且仅当时取“=”，
即，因此当时，，所以存在最大值.
选择②，AD是的角平分线，，由得：
，而AD=2，于是得，
即，，当且仅当时取“=”，
即当时，，所以存在最小值.
一、单选题
1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又，
所以，所以，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，因为，
所以.
故选：B.
2．（24-25 山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，
得，
在中，.
所以估算黄鹤楼的高度CD为.
故选：C
3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
在中，由正弦定理可得：，解得：，
在中，由正弦定理可得，解得：，
即，所以；故选：C
4．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知,
则在三角形中由余弦定理得：，
在三角形中由余弦定理得：，
因为，所以，即，解得.
故选：C
5．（2025湖北）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，由正弦定理可得，
即，则，
又，所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以，则．
设边上中线的长度为，则，
所以边上中线长度的最大值为．
故选：C
6．（2024福建三明 ）在锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在锐角中，，因为，，，
所以，，解得，
所以，，
而，
所以
可得，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，
所以，即.
故选：A.
7．（24-25 河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
8．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由题意为的中点，设，则，
则在中，,
则的面积
，当时取等号，
所以的面积最大值为，的面积最大值为，
上高的最大值为．
故选：D．
9．（23-24 ·福建泉州 ）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，则，
即：，
所以，又，
∴，即，
故的周长的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
10．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（ ）
A．是钝角三角形B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可知边长最大，即B是最大角，
由余弦定理知，
则，是锐角三角形，故A错误；
由余弦定理知，则，故B正确；
由上可知，作出三角形图形如上，
由平分，可知，即，故C正确；
作，易得均为等腰直角三角形，
且，所以，故D正确.
故选：BCD
11．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．四边形的面积为D．
【答案】AB
【解析】连接，
对于AB，在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，故A正确；
可知，则，故B正确；
对于CD，可得，所以四边形的面积为，故C错误；
在中，可得，
在中，可得，
则，
若，注意到，
则，可得，
即，故D错误；
故选：AB.
12．（24-25 ·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．外接圆的面积为B．若，则
C．面积的最大值为D．周长的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则，
即得，则外接圆的面积为，A错误；
对于B，若，则，
则，B正确；
对于C，由余弦定理可得，即，
当且仅当时等号成立，则，
故面积的最大值为，C正确；
对于D，由，得，
则，当且仅当时等号成立，
即得，故周长的最大值为，D正确，
故选：BCD
13．（2024·四川成都 ）设中，.下列命题正确的有（ ）
A．若，则的周长的取值范围是
B．若，则的面积的最大值是
C．若，则的周长的取值范围是
D．若，则的面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，，
所以，因此的周长的取值范围是，故A错误；
对于B，由，可知，
当时，的面积取到最大值，故B正确；
对于C，当时，由，即，得；
由，得，从而，
所以，
因此的周长的取值范围是，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，
可得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
14．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同B．乙船的行驶速度是海里/时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时D．甲、乙两船不可能相遇
【答案】AD
【解析】如图，连接．
依题意，（海里），而海里，，
则是正三角形，所以海里．
在中，海里，
由余弦定理得
（海里），
则有，所以，所以，
所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确．
延长与交于点O，显然有，即，
易得海里，海里，海里，
甲船从出发到点O用时（小时），
乙船从出发到点O用时（小时），
，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．
故选：AD．
15．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为B．的周长的最小值为
C．的面积的最大值为D．边的中线的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：，由正弦定理得，
即，即，
因为，所以，所以，，
因为，则， 令外接圆的半径为,
根据正弦定理可得，即，故A正确；
对于C：由余弦定理知，，
因为，，所以，，当且仅当时等号成立，
因为，所以的最大值为，故C正确；
对于B：由C知，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故B错；
对于D：因为为边上的中线，
所以，，
得，因为，所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
16．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为
B．的取值范围为
C．的值可能为3
D．的最小值为
【答案】BC
【解析】因为为锐角三角形，所以，解得，
同理可得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
A选项，，A错误；
B选项，由余弦定理得，即，
所以，
所以
，
因为，所以，B正确；
C选项，因为，
而，所以的值可能为3，C正确；
D选项，
，当且仅当时取等号，
但，
而，所以，
故，等号取不到，D不正确.
故选：BC.
三、填空题
17．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8
【解析】根据题意得，在中，，,
在中，,,
.
故答案为：13.8
18．（24-25 山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.

【答案】
【解析】设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
，
即，解得.
所以塔的高度为米.
故答案为：.
19．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ．
【答案】/
【解析】因为，，则，
不妨设，则，
因为，则，
所以，，同理可得，
因为，则，
故，
由二倍角的余弦公式可得，可得，
所以，.
故答案为：.
20．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以由正弦定理得，因为，
所以，即，
因为，所以，解得
因为的面积等于，则，得，
在中，由余弦定理得
的周长为，
当且仅当时等号成立，
综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为．
故答案为：.
21．（24-25 天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由得，，
所以，即，
所以，所以.
设的外接圆半径为，由正弦定理得.
所以，
又，所以
由是锐角三角形得，，解得，
所以，所以.
故答案为：.
22．（2024·陕西安康 ）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .

【答案】10
【解析】设，
则，
而，
则，
所以，
令，则，
则
，其中，
当且仅当时取等号，
此时，即，
所以四边形面积的最大值为10.
故答案为：.
四、解答题
23．（24-25 河南·阶段练习）在平面四边形中，，，且.
(1)求的长；
(2)若为的中点，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）

在三角形中，，，
所以由余弦定理得：，
所以，又，所以，
又，所以.
（2）在三角形中，，所以，
所以，

所以在中，为的中点，所以，，，
所以由余弦定理得：，
所以，
在中，，，，
所以由余弦定理得：
所以，
所以在中，由余弦定理得：.
24．（2024·江西新余 ）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，又，得到，
又，
又，，且，
所以，，
得到.
（2）延长交于，设，，
在中，由正弦定理得到，由（1）知，，
所以①，由余弦定理得到②，
由①②解得或，
当时，，此时，
又，所以，不合题意，故，，
在中，由，，得到，，
所以，又，
故.
25．（24-25 辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为由余弦定理有：，
因为为的内角，所以
（2）因为由余弦定理有：
=，
所以
设，由点在边上，且为锐角三角形，所以，
所以.
在中，由，
所以，所以，
所以
由是定义域上的减函数，所以，
所以的范围为.
26．（24-25 河北沧州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的面积是，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以
因为，所以，所以，
所以，即，
所以，又，所以.
（2）因为的面积是，所以，解得.
由余弦定理可得，又，即，
则，即，故.
27．（24-25 江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，可得，
所以，，
因为、，且余弦函数在上单调递减，则，
当时，则，
由正弦定理可得，则，
因此，的面积为.
（2）由（1）可得，则，
由正弦定理可得，则，
因为，则，可得，
所以，，即的取值范围是.
28．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)求；
(2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②.
【解析】（1）由余弦定理可得，所以，，
由得，整理可得，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
所以，，
因为、、，所以，、、，有如下几种情况：
，即，矛盾；
，即，矛盾；
，可得，解得.
（2）①由余弦定理、基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为；
②因为为边的中点，则，即，
所以，，
所以，，
又因为，
所以，，由①知，
可得，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
29．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答．
在中，三边分别是角的对边， 若______.
(1)求C；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：若选条件①，由，
可得，即，
因为，所以，可得，
因为，可得，所以，所以，可得.
若选条件②，由，
根据正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以.
若选条件③：由，可得，
即，
因为，可得，
又因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）知：且，
又由余弦定理得，
即，
当且仅当时，等号成立，所以，
则，所以面积的最大值为.
30．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角；
(2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，
由正弦定理得，
即，所以，
又，所以；
（2）法一：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“”，
所以，所以，
即面积的最大值为.
法二：由，则，
由余弦定理可得，
即，
可得，
又因为，
所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以，
即面积的最大值为.
31．（2024·北京 ）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2)
【解析】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
32．（2024·陕西）如图，已知平面四边形中，．
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由于四点共圆，所以， 因此，
上述两式相加得：，
得．
（2）由（1）得：，
化简得，①
四边形的面积：，
整理得，②
①②两边分别平方然后相加得：
由于，，
因此当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，得，
故四边形面积的最大值为．
33．（2025浙江温州 ）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
34．（2024四川成都·期中）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.