人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用获奖第2课时教学设计

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5.3.1函数的单调性（第2课时）
一、教材分析
高中阶段研究函数，主要是利用函数图象与性质研究函数的极值、最大(小)值以及函数零点问题、函数与不等式的综合问题等.之前利用幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这几个基本初等函数的图象与性质研究过一些较为简单的函数，但是对于稍微复杂的函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数进行四则运算或者复合以后的一些函数，就很难用之前的方法加以解决.单调性是函数的最基本而重要的性质，有了导数以后，可将函数单调性的判断问题转化为导数的正负性判断问题.再利用函数的单调性，得到函数的极值，从而得到函数的最大(小)值及函数的变化趋势，可以画出函数的大致图象，再借助函数图象研究函数零点等问题.函数与不等式的综合问题、实际问题的应用，往往转化为函数的最大(小)值问题.这样，研究函数问题本质上就是将其转化为导数的运算和导数正负的判断问题，因此利用导数就可以更加“精确地”研究函数的性质，因此导数是研究函数性质的基本工具.
必修第一册已经学习过函数的单调递增(递减)、函数最大(小)值的定义，并利用定义研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的单调性与最大(小)值，学生对函数的单调性、最大(小)值有了一定的了解.函数的极值是学生第一次接触到的新概念，本单元给出了极值的概念，并归纳出用导数求函数极值的一般方法，以及如何利用极值求函数最大(小)值.函数的最大(小)值是贯穿整个高中数学学习的一个重要内容，比如，三角函数中的最大(小)值、立体几何中的最大(小)值问题、解析几何中的最大(小)值、实际问题中的最大(小)值等.之前我们借助函数单调性的定义、函数图象、重要不等式等知识解决了一些比较简单的函数最大(小)值问题，学习本单元以后，对于比较复杂的函数，可以借助导数加以解决.导数不仅在高中数学中有非常重要的作用，也是今后学习高等数学的重要基础.
通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出利用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想.通过高台跳水的具体实例，得到函数的单调性与导数正负的关系、函数极值与函数单调性的关系，体现了特殊与一般的数学思想.在利用导数研究函数单调性、极值的基础上，将简单的函数不等式的证明转化为用导数求函数的最大(小)值来解决；将实际问题中的优化问题转化为用导数求函数在某个范围内的最大(小)值问题，体现了转化与化归的思想.利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值等性质的一般步骤，体现了程序化思想，其方法具有普适性、通用性.
函数的单调性、极值与最大(小)值是函数的重要性质，也是研究客观世界运动变化规律的最有用的知识之一，用导数研究函数的性质是一种通法.利用导数研究函数的单调性、极值与最大(小)值的综合性问题，以及简单的优化问题，可以让学生感受到数学来源于生活、服务于生活，提高从数学角度发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会导数运算在数学证明中的重要作用，感悟导数的内在力量——导数精确定量地刻画变化规律.同时通过导数在研究函数中的应用，可以进一步提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.
二、学情分析
学生已经学习过函数的单调性、最大(小)值的定义，会利用函数单调性的定义、函数图象、重要不等式等知识求一些简单函数的最大(小)值.但是对于一些复杂的函数，用单调性的定义很难研究函数的图象与性质.前面学习了导数的概念、导数的几何意义，以及导数的运算法则，为利用导数来研究函数的图象与性质奠定了基础.
由于高中阶段不介绍微分中值定理，也没有建立完整的微积分知识体系，对于“导数的正负与函数单调性的关系”“可导函数极值点的特征”等结论无法进行严格的证明，因此不易理解导数的正负与函数单调性的关系、函数取得极值的充分条件和必要条件.极值是函数的局部性质，而最大(小)值是函数的整体性质，理解极值与最大(小)值的关系，极大值与极小值的关系等，对学生来说有一定的困难.
从特殊到一般是研究问题的一般方法，教科书通过高台跳水的实例，再从学生熟悉的几个幂函数的图象，总结得到导数的正负与函数单调性的关系.数形结合是研究函数性质的主要思想方法，对于“是函数在区间上单调递增(递减)的充分不必要条件”及函数取得极值的充分条件和必要条件的理解，只能借助图形直观，通过形与数的融合，得到结论.对于不必要性，可以通过举反例加以说明，比如函数在上单调递增，但是当时，.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题.
（二）课时目标要求
1.能结合实例，利用导数的几何意义与几何直观，从具体例子中抽象出函数的单调性与其导函数正负之间的关系，培养学生数学抽象与直观想象核心素养.
2.能归纳利用导数判断函数单调性的基本步骤，能利用导数求简单函数的单调区间，发展数学运算素养.
3.能利用导数研究函数增长的快慢，体会数形结合思想，发展直观想象素养.
四、重点难点
教学重点：利用导数求简单函数的单调区间.
教学难点：函数增长的快慢与导数的关系.
五、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
问题1：上节课，我们学习了函数的导数与其单调性的关系，你能具体说说么？
一般地，函数 QUOTE fx 的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数 QUOTE y=fx 在区间 QUOTE 上单调递增；
在某个区间 QUOTE 上，如果，那么函数 QUOTE y=fx 在区间 QUOTE 上单调递减．
追问：一般地，求解函数的步骤有哪些？
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用 QUOTE f'x 的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出 QUOTE f'x 在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
环节二：合作交流，探究法则
形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性．
问题2：求函数的单调区间．
解：函数 QUOTE fx=13x3−12x2−2x+1 的定义域为．对求导数，得
．
令，解得
，或．
QUOTE x=−1 和把函数定义域划分成三个区间，在各自区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
所以，在 QUOTE 和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示．
设计意图：教师通过例题解答向学生示范如何用导数求函数的单调区间，再让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤.
追问1：你能利用函数单调性的定义求函数的单调区间吗？
师生活动：教师提出问题后，引导学生回顾函数单调性的定义，并利用单调性的定义尝试求三次函数的单调区间：
设且,则
很难发现在哪些区间内符号是确定的.
追问2：相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势?
师生活动：教师启发学生思考、交流，并归纳：利用导数判断三次函数的单调性，只需对三次函数的导函数，即二次函数的正负进行研究，只需要解一元二次不等式，相较于利用函数单调性定义的方法更简便.
设计意图：对于一般的三次函数的单调性，利用导数将三次函数的问题转化为二次函数的问题，比利用定义判断函数单调性更方便简洁，体现转化与化归思想的运用.
问题3：如何说明对数函数与幂函数在区间上增长的快慢?
师生活动：教师提出问题后，让学生思考回答，教师在学生回答的基础上，利用信息技术画出对数函数与幂函数的图象(如图5.3-7所示),并结合其导数值的变化情况加以说明：
对数函数的导数为，所以在区间上单调递增．当越来越大时，越来越小，所以函数增长得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图5.3-7(1)）
幂函数的导数为，所以在区间 QUOTE 上单调递增．当越来越大时， QUOTE y'=3x2 越来越大，所以函数增长得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图5.3-7（2））．
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.因此，导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
追问：如何理解函数增减的快慢与函数在某一范围内导数的绝对值有关?
师生活动：教师提出问题后，让学生思考，引导学生利用导数的几何意义加以解释：导数的绝对值如果在某一范围内递增，说明原函数在这个范围内切线的斜率的绝对值越来越大，即在这个范围内变化得越快；反之，函数在这个范围内变化得越慢.
设计意图：通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，体会从特殊到一般的数学思想，发展学生直观想象、数学抽象的核心素养.
问题4：设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系．
师生活动：教师启发学生思考，引导学生交流，本例是前述结论在不同函数增长速度差异比较中的一个应用，指明不仅要利用导数对函数增长的快慢进行判断与刻画，还要结合函数的图象与导数的几何意义加深对函数增长快慢的理解.
解：因为，，所以，．
当时，；当时，；当时，．
所以，，在上都是增函数．
在区间上，的图象比 QUOTE fx 的图象要“陡峭”；
在区间上， QUOTE gx 的图象比 QUOTE fx 的图象要“平缓”
所以， QUOTE fx ， QUOTE gx 的图象依次是图5.3-8中的，．
设计意图：教师通过例题解答让学生进一步理解导数对函数增长快慢的影响，体会数形结合思想，发展直观想象素养.
随堂练习
1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；（2）．
解：（1）因为，所以，
令解得或，
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（2）因为，所以，
令解得或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和．
2．证明函数在区间上单调递减．
【解析】因为，所以，当时，，
所以函数在区间上单调递减．
3．函数的图象如图所示．试画出函数图象的大致形状．
【解析】
由图知：时，且为定值；
时，单调递减，且在上，在上；
时，单调递增，且在上，在上；
，单调递增且为斜率大于0的直线；
，单调递增；，单调递减；
，单调递减；，单调递增；
环节五：能力提升
题型一：含参数函数的单调性
例1：1）．已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】解：函数的定义域为，.
当时，令得，令得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，令得，令，得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，不是单调函数.
2）．已知函数，讨论的单调性．
【详解】解：函数的定义域为，求导得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
3）．已知函数，讨论函数的单调性．
【详解】解：的定义域为，
．
①当时，
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，令，得或．
（i）当时，．
当时，，当时，．
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（ii）当时，对恒成立，所以在上单调递增．
（iii）当时，，
当时，；当时，．
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
方法规律：含有参数的函数单调性的解题技巧
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3)含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式∆及根的大小关系等方面进行讨论.
变式训练：已知函数，讨论函数的单调性.
【详解】
解：由题意得的定义域为0,+∞， 则，
令，
当时，即，所以在0,+∞上单调递减；
当时，，
当时，，则在0,+∞上单调递增；
当时，，的根为，
由于，即，
当或时，，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减；
综上，当时，在0,+∞上单调递减；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
当时，在0,+∞上单调递增；
题型二：根据函数的单调性求参数（范围）
例3：1）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】法一：
令，则在上单调递减，
且在上恒成立，
所以解得.
法二：，则，
则在区间上恒成立，
则或，解之得.
故选：A.
2）．已知函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).
【详解】
解：（1）由题意知.
①当时，恒成立，
所以的单调递增区间是；
②当时，令，得或，
令，得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
③当时，令，得或，令，得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，若在内单调递减，则，解得，
即a的取值范围是.
（3）由（1）知，若的单调递减区间是，
则，解得.
方法规律：
(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件(或)，恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“”时是否满足题意．
(2)若函数在区间上不单调，则转化为在上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
变式训练：
2．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
若函数在上不单调，即，，可得，
所以实数的取值范围是.故选：B
3．若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】−4
【详解】解：由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，即的解集为，
∴所以和4是的两根，∴．
故答案为：−4.
4．若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
∵函数在区间上单调递减，即在区间上恒成立，
∴，解得或，解得
∴实数a的取值氛围为．
题型三：函数单调性的应用
角度一：比较大小
1）．已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】构造函数，则，
所以函数在R上单调递增，故，即，
即．同理，，即．
故选：A.
2)．若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
规律方法：
1）利用函数单调性比较大小是常见的题型，构造恰当的函数是比较大小的关键.结合所给条件的形式，依据函数和差积商的求导法则确定和哪个函数进行怎样的运算，有时还可以结合选项确定所构造函数
2）用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：
(1)对于，构造.
(2)对于，构造.
(3)对于，构造.
(4)对于，构造.
(5)对于，构造.
(6)对于，构造.
变式训练：
5．已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】构造，结合题设易知在上为单调递减函数，利用单调性比较函数值大小，即可得答案.
【详解】解：由题设，即，
构造函数，所以，即在上为单调递减函数，
所以，化简得，
同理，化简得．
故选：D
6．若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造新函数，得到．结合锐角三角形性质，三角函数单调性，诱导公式，得到.运用单调性，可以得到函数值的大小.
【详解】解：由于，则.
即令，则.
则在内单调递增.
为锐角三角形，则,则，则.
故，变形得到.
故选：D.
角度二：解不等式
1)．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以函数在上单调递增.
又，
所以解得.
故选：C
2)．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
规律方法：
利用函数单调性解不等式，一般可以通过所求解的不等式构造函数，然后根据所给条件研究该函数的单调性及奇偶性等，将不等式化为.依据构造函数的单调性，得到或.
变式训练：
7．已知函数及其导函数f'x的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：令，因为，所以，
所以在上单调递减；又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A
8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为，则，
又因为，即，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
环节六：凝练升华，课堂小结
回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
(1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数单调区间的步骤吗?
(2)函数增长的快慢与导数有何关系?如何理解?
(3)函数的单调性有哪些应用?
师生活动：教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳.
设计意图：(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数单调区间的步骤，提高解题技能；
(2)函数增长的快慢由某一范围内导数绝对值的大小决定，由导数的几何意义可以直观说明；
(3)利用函数单调性，可以求函数的单调区间、比较函数值的大小、研究函数增长速度的快慢等.
环节七：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第97页习题5.3第2题, 第99页习题5.3第13题
巩固作业答案：
第97页习题5.3第2题
2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2）
（3） （4）．
【答案】(1) 单调减区间为，单调增区间为；
(2) 单调减区间为，单调增区间为；
(3) 单调增区间为，无单调减区间；
(4) 单调增区间为和，单调减区间为.
【详解】（1）因为二次函数，
所以抛物线的对称轴为，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
（2）因为二次函数，
所以抛物线的对称轴为，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为；
（3）因为，
所以，由于，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间；
（4）因为，所以，
令解得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
教科书第99页习题5.3第13题
13.利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：

（1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示：

题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减.
（2）1、当时，
当时，，则，即单调递增；
当时，，若，则，，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，，则，即单调递减；
当时，，若，则，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；
2、当时，，对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
3、当、时，：当时，单调递增；当时，单调递减；
4、当、、时，：无单调性.
环节八板书设计
5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时）
1．利用导数研究函数的单调性
例1. 函数单调性求求解
2．函数变化快慢与导数绝对值的关系
例2.图象的辨析
例3.单调性的应用
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增