人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了函数单调性判定，单调函数的图象特征，增函数，减函数，复习与引入，1求函数定义域等内容，欢迎下载使用。

函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1)＜f(x2)，
则f(x)在G上是增函数；
2）都有f(x1)＞f(x2)，
则f(x)在G上是减函数；
若f(x)在G上是单调递增函数或单调递减函数，
则f(x)在G上具有严格的单调性。
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1问题1: 判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减， －增→减，复合函数单调性同增异减
思考： 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
这种情况是否具有一般性呢？
问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,在某个区间(a,b)上，如果f '(x)> 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上，如果f '(x)< 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递减;
由上我们可得以下的结论:
解：(1)因为f(x)=x3+3x,所以f '(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图所示.
解： (2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以f '(x)=csx-1<0.所以，函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减，如图所示.
例2已知导函数f '(x)的下列信息：当10;当x<1,或x>4时, f '(x) <0;当x=1,或x=4时, f '(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.
解：当10,可知f(x)在区间(1,4)上单调递增； 当x<1,或x>4时，f '(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)上都单调递减； 当x=1,或x=4时，f '(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f '(x)的正负的关系.
练习：1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x. 2.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f '(x)图象的大致形状.
(－1，2)和(4，＋∞)
[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]
所以，f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图所示.
探究：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.
幂函数y=x3导数为y‘=3x2 >0(x∈(0,+∞)),所以y=x在区间(0,+∞)上单调递增，当x越来越大时,y'=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如图 (2)).
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）;反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”。
练习：1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=3x-x3;(2) f(x)=x3-x2-x.2.证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.3.函数y=f '(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(5) 大于0的区间是 f(x)的单调递增区间; 小于0的区间是 f(x)的单调递减区间.
例5:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.
说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大到[0,100)(或[0,100]).
(2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时,都可以把100包含在内.