高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《导数在研究函数中的应用》教学设计
课时3函数的最大(小)值与导数
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
函数的单调性与导数
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
直观想象
逻辑推理
数学抽象
【考查内容】
1.利用导数研究函数的单调性
2.利用导数研究函数的极值
3.利用导数研究函数的最值
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
函数的极值与导数
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
函数的最大(小)值与导数
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
一、本节内容分析
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.变化规律可用函数性质来描述.导数方法是研究函数性质的方法.本节主要包括三方面内容:一是利用导数研究函数的单调性;二是利用导数研究函数的极值;三是利用导数研究函数的最值.
在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题.其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力.激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
数学建模
核心素养




二、学情整体分析
本节课是在学习导数的概念、运算的基础上继续深入学习的,学生已经了解了一些解题的基本思想和方法,应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生,所以本节的学习应让学生能够多参与、多思考,培养他们的分析问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力.在课堂教学中,应该把以教师为中心转向以学生为中心,把学生自身的发展置于教育的中心位置,为学生创设宽容的课堂气氛,帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展认知能力,充分调动学生学习的积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
【教学目标设计】
1.导数的简单应用,包括求函数的极值、最值、单调区间和判断函数的单调性等.
2.综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性结合在一起.
【教学策略设计】
根据新课标高中数学的教学实际及本节课的内容特点,本部分的教学先从几个基本问题入手,在解决基本问题的过程中唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾,为实现本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上主要采取以下的策略:
(1)结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的单调性(求单调区间)的方法与步骤.
(2)结合函数图象,直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系,建立函数的极大值、极小值的概念.
(3)借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
(4)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤.
(5)通过适量的综合性练习,让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.利用导数判断函数单调性.
2.利用导数求函数的极值.
3.利用导数求函数的最值.
难点:
1.求解函数单调性的方法.
2.准确求函数极值.
3.准确求函数最值.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:回顾函数极值的概念.
生:若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值.
师:我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,如果是函数的极大(小)值点,那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小.如果是函数的最大(小)值,那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值.
教学精讲
探究1 函数的最大值与最小值定理
【情境设置】
探究函数最值
观察图1和图2中在闭区间上的函数的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值,最小值呢?

生:在图1中,在闭区间上的最大值是,最小值是;在图2中,在闭区间上的极大值是和,极小值是和.最大值和最小值是.
师:观察下图中一个定义在闭区间上的函数的图象,它在上有最值吗?你能找出它的极大(小)值吗?最大值,最小值呢?

生:观察图象,我们发现,是函数的极小值,,是函数的极大值.
师:极值与最值有何关系?
生:极值不一定是最值,最值也不一定在极值处取得.
师:怎样求函数的最大值和最小值?
生:要关注所有的极值和端点值,综合比较后才能确定最大值和最小值.
【设情境 巧引入】
函数最值是函数的重要性质,导数的引入为解决函数问题提供有效的工具,在解决实际问题或研究性质时,我们更关心在某个闭区间上的最值,所以本节课我们先回顾各种熟悉函数的图象和性质,便于我们进行分析和探究,顺利进入新课的学习阶段.
【要点知识】
函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值.
说明:(1)如果在某一区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,则称函数在这个区间上连续.
(2)给定函数的区间必须是闭区间,在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续,但没有最大值与最小值.
(3)在闭区间上的每一点必须连续,即函数图象没有间断.
(4)函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.
【活动学习】
极值与最值是两个很直观的概念,他们之间的角色也会时常转换,所以开始学习就要通过实例进行区别.
探究2 “最值”与“极值”的区别和联系
师:由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.通过刚才的实践活动,那么我们如何区别最值与极值呢?
【学生分组讨论,教师点拨】
【要点知识】
“最值”与“极值”的区别和联系
1.“最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.
2.从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一.
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.
4.极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
【以学论教】
从学生的角度出发,以一般函数为基底做知识铺垫,引出函数的最大值和最小值定理,有助于学生对定理的理解和把握.
探究3 求函数最值的基本步骤
师:在上节课函数的极值与导数的研究中,我们通过应用举例1研究函数.
的极值,如何求在的最大值与最小值?
生解:由上节课应用举例1可知,在上,当时,有极小值,并且极小值为,又由于.因此,函数在的最大值是4,最小值是.上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.

【概括理解能力】
极值与最值是通过实例进行区分的,让学生自行总结归纳,培养学生的概括能力,加深对概念的理解和区分.
师:通过研究,我们一起总结求函数最值的基本步骤.
【要点知识】
求函数最值的基本步骤
若函数在闭区间有定义,在开区间内有导数,则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下:
(1)求在内的极值;
(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值.
【活动学习】
用熟悉的函数做例子进行分析和探究,使学生更好地理解导数求最值的基本步骤.
师:下面我们根据本节课所学知识来看例题.
【典型例题】
求函数最大值和最小值
例1:求函数的最大值、最小值.
生解:列表如下:

当时,有最大值;当或时,有最小值0.
师:下面我们接着来看下一题.
【典型例题】
求函数最值
例2:求函数的最值.
生解:.
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:

当时,有最小值.当或时,有最大值4.
【分析计算能力】
通过应用举例,使学生初步掌握求函数最值的基本方法,规范求最值基本步骤.
师:来看下一例题.
【典型例题】
利用极值求函数系数
例3:设函数在及时取得极值.
(1)求的值;
(2)若在上的最大值是9,求在上的最小值.
生解:(1)函数,可得,
因为函数在及时取得极值,则有.
即,解得;
(2)由(1)可知,.当时,;当时,在上的最大值是.此时,所以最小值在时取得,且.
【以学定教】
利用极值点的特殊性确定函数解析式是一种常见题型,通过应用举例使学生熟练掌握导数与极值、最值的关系,并能应用解析式去求函数的最值.
师:让我们总结一下本节课所学重点知识.
【课堂小结】
函数的最大(小)值与导数
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点.
2.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.
3.闭区间上的连续函数一定有最值;开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
4.利用导数求函数的最值方法.
【设计意图】
本节课的重点是研究闭区间上的连续、开区间上可导函数的最值的方法和步骤,师生共同解决问题,知识建构过程中充分调动学生的积极性,始终贯彻教师为主导,学生为主体,探究为主线,思维为核心的教学思想.
教学评价
从利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发,让学生在新的问题情境中,引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题,在问题解决过程中获得新知,让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系,从而进一步完善数学认知结构.导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点,它是一种有力的工具,可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大(小)值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的捷径,成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁.我们要意识到导数工具的重要性,教学中下最大的功夫进行突破,为今后的深入学习与研究打下坚实的基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的素养目标要求.
根据所学知识,完成下面各题:
1.已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.
解析:本题考查函数的单调性与导数的关系.根据原函数图象的单调性及极值点的情况,得到导函数的零点个数及导函数的正负取值,由此即可得到导函数的图象的大致形状.由函数的图象看出,在轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增,在轴右侧函数无极值点,且是减函数,根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知,导函数在轴右侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在轴右侧无零点,且导函数值恒负,由此可以断定导函数的图象是的形状.( )
答案:
2.函数,则( )
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递减
解析:掌握函数的单调性与导数的关系:在某个区间内,如果0,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
因为函数,定义域为,所以,当时,解得,即函数的单调递增区间为;当时,解得,即函数的单调递减区间为.
答案:
【分析计算能力】
利用导数判断函数的单调区间,先求函数的定义域,重视对数函数的定义域对单调区间的影响.利用导数求函数的极值,导数为零的点不一定存在极值,要进行合理判断.
【综合问题解决能力】
本题已知在切点处的斜率求函数方程及最值,是高考常见考查内容,通过解题,提高学生的综合问题解决能力.
3.已知函数,求函数的极值.
思路:求函数的极值的一般步骤如下:首先令,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性,进而求出函数的极大值和极小值.
解析:因为,所以,令得,.又的定义域为,由得,由得,,所以时,有极小值为1,无极大值.
4.若函数,在点处的斜率为.
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
思路:(1)求出函数的导数,利用切线的斜率,求解即可.(2)求出导函数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最值即可.
解析:(1),即,解得;实数的值为1;
(2)为递增函数,∴,存在,使得,所以,.
教学反思
教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤,切实把关注学生的发展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教学计划.
【以学定教】
启发并引导学生理解以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性和最值问题,理解函数单调性与导数的关系,掌握利用导数求函数极值和最值的方法,侧重导数与函数、数列、不等式的综合应用.
【以学论教】
根据学生实际学习用导数求函数的单调性与极值最值的情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.