高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用优质第1课时教学设计

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5.3.1函数的单调性（第1课时）
一、学习目标
（一）课程标准要求
①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题.
（二）课时目标要求
1.能结合实例，利用导数的几何意义与几何直观，从具体例子中抽象出函数的单调性与其导函数正负之间的关系，培养学生数学抽象与直观想象核心素养.
2.能归纳利用导数判断函数单调性的基本步骤，能利用导数求简单函数的单调区间，发展数学运算素养.
3.能利用导数研究函数增长的快慢，体会数形结合思想，发展直观想象素养.
二、重点难点
学习重点：根据导数的正负性判断函数的单调性，利用导数求简单函数的单调区间.
学习难点：导数的正负与函数的单调性的关系，函数增长的快慢与导数的关系.
三、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.
思考：判断函数单调性的方法有哪些?
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？
本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过得高台跳水问题．
图5.3-1(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 QUOTE ht=−4.9t2+4.8t+11 的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 QUOTE vt=h't=−9.8t+4.8 的图象，，是函数的零点．
问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
环节二：合作交流，探究法则
问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢?
问题3：在高台跳水问题中，我们可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种情况是否具有一般性呢？
追问1：能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系?
问题4：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？
追问1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性?
追问2：在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的什么条件?
问题5：由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致?
追问1:由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗?
追问2:对于在区间上的单调函数,其平均变化率的几何意义与的正负有什么关系?
环节三：根据新知，简单应用
例1利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；（2）；（3）．
例2已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，．
试画出函数图象的大致形状．
随堂演练
1．判断下列函数的单调性：
（1）；（2）．
2．利用导数讨论二次函数的单调区间．
3．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
环节五：能力提升
题型一：利用导数研究函数单调区间
例1:
1).已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
(1)求和的值；(2)求的单调区间.
2)．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
变式训练：
1．已知函数，若，求的单调区间；
2.已知函数，求函数的单调区间；
题型二：函数图象与导函数图象的关系
例2：1）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
2)．已知R上可导函数的图象如图所示，解不等式.

变式训练：
3．已知函数与f'x的图象如图所示，则函数（ ）
A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数
C．在区间0,2上是减函数D．在区间−1,1上是减函数
4．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
环节六：凝练升华，课堂小结
回顾本节课的学习内容，回答下列问题
(1)判断函数单调性有哪些方法?
(2)如何利用导数研究函数的单调性?
(3)利用导数研究函数的单调性有何优势?
环节七：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第97页习题5.3第1、3题
巩固作业答案：
教科书第97页习题5.3第1题
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2），
（3） （4）
第97页习题5.3第3题
3. 如图，已知汽车在笔直的公路上行驶．
（1）如果表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；
（2）如果表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？