选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案及答案

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5．3.1　函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准：1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
教学重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性．
教学难点：根据函数的单调性求参数的取值范围.




知识点一　函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减.
知识点二　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出导数f′(x)的零点；
第3步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点三　函数图象的平缓与陡峭的判断方法
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．

1．函数的单调性与导数
(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间．
(2)一般利用使导数等于0的点来划分函数单调区间．
(3)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间仍为增函数．
在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3)
2．求函数单调区间的方法
求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，这些不等式的解就是所求的单调区间，其步骤如下：
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求出f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．
3．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
(3)由不等式恒成立求参数范围；
(4)验证等号是否成立．
4．“函数变化快慢与其导数的关系”



1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
(2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________.
(3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________.
答案　(1)上升　(2)a>0，且b2≤3ac　(3)，(1，＋∞)



题型一　求函数的单调区间
例1　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，所以由f′(x)＝0，
得x＝.
因为当x>时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
因为当0 (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝3.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
所以当x>3时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；当x<3时，f′(x)<0，又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
因为当00，所以函数在区间(0,2)上是单调递增的；
因为当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．
故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．
(4)解法一：f′(x)＝－ax2＋2x(a≤0)．
①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
因为－a>0，<0，所以当x>0或x<时，f′(x)>0；当 故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
解法二：f′(x)＝－ax2＋2x(a≤0)．
①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)>0，所以(－ax＋2)x>0，即x>0，得x>0或x<，由f′(x)<0，得 故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.

(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，可以利用判断函数单调性的步骤来求，也可以转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0来求．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．
(3)要特别注意函数的定义域．
[跟踪训练1]　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(1－x)ex；
(2)f(x)＝x3－2x2＋x；
(3)f(x)＝x＋sinx，x∈(0，π)；
(4)f(x)＝(x>0且x≠1)．
解　(1)因为f(x)＝(1－x)ex，所以f′(x)＝－xex，因为x<0时，f′(x)>0，x>0时，f′(x)<0，所以所求函数的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)解法一：因为f(x)＝x3－2x2＋x，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R.
令f′(x)＝0，得3x2－4x＋1＝0，解得x＝或x＝1.
因为当x<或x>1时，3x2－4x＋1>0，当 解法二：因为f(x)＝x3－2x2＋x，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R.
①令3x2－4x＋1>0，得x>1或x<.
②令3x2－4x＋1<0，得 所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为.
(3)因为f(x)＝x＋sinx，所以f′(x)＝＋cosx，
①令f′(x)>0，得cosx>－，又因为x∈(0，π)，
所以0 ②令f′(x)<0，得cosx<－，
又因为x∈(0，π)，所以 所以函数f(x)＝x＋sinx的单调递增区间为，单调递减区间为.
(4)解法一：函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝.
列表如下：
x



(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，(1，＋∞)．
解法二：函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－，
由f′(x)>0得ln x＋1<0，所以0 由f′(x)<0得ln x＋1>0，所以x>.
又因为x≠1，所以1.
所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是和(1，＋∞).
题型二　原函数与其导函数图象之间的关系
例2　f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

[解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．
[答案]　C

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[跟踪训练2]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)

答案　D
解析　应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象.
题型三　应用函数单调性求参数范围
例3　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[解]　h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，设G(x)＝－，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝＝.
因为x∈[1,4]，
所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.

已知f(x)在区间(a，b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．
[跟踪训练3]　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是a≤16.
题型四　利用导数证明不等式
例4　求证：当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1.
[证明]　设f(x)＝2x－2x－1(x≥3)，
则f′(x)＝2xln 2－2(x≥3)．
因为x≥3，
所以f′(x)≥23·ln 2－2＞0.
所以f(x)在[3，＋∞)上是增函数．
所以f(x)的最小值为f(3)＝23－2×3－1＝1＞0.
所以当n∈N*，且n≥3时，f(n)≥f(3)＞0，
即2n－2n－1＞0恒成立．
故当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1成立．

利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f(x)．因此，要证不等式成立，只需证f(x)＞0在其定义域内恒成立即可．
[跟踪训练4]　已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x>1时，f(x) 解　(1)由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝(舍去)．
因为当00，
所以函数f(x)的单调递增区间是.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．
则有F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，
故当x>1时，F(x)1时，f(x)


1．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　)

答案　C
解析　由题图可得，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－10，∴f′(x)<0，∴－11时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，∴x>1时，y＝f(x)单调递增．
2．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ex－x(　　)
A．单调递增
B．单调递减
C．先单调递增后单调递减
D．先单调递减后单调递增
答案　A
解析　因为y′＝ex－1，x∈(0，＋∞)，所以ex－1>0，所以函数在(0，＋∞)上单调递增．故选A．
3．(多选)将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)

答案　ABD
解析　对于A，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意；对于B，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)存在增区间，但图中函数y＝f(x)为减函数，不符合题意；对于C，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；对于D，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)有两个单调区间，但图中函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意．故选ABD．
4．已知函数f(x)＝x3－3x，则f(x)在x＝0处的切线方程为________，单调递减区间是________.
答案　y＝－3x　(－1,1)
解析　依题意f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．f′(0)＝－3，f(0)＝0，故所求切线方程为y＝－3x.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当－1 5．讨论函数f(x)＝(－1 解　当0 f′(x)＝b·＝－.
若b>0，则f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减；
若b<0，则f′(x)>0，函数f(x)在(0,1)上单调递增．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．
所以当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1) B．(1,2)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当－1 2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)

答案　A
解析　因为导函数f′(x)是增函数，所以切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大．故选A．
3．函数y＝x2ex的大致图象为(　　)

答案　A
解析　y′＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex，故y＝x2ex在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且当x<0时，y＝x2ex>0.故选A．
4．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)

答案　D
解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间(a，b)内，导函数大于0，且在区间内，导函数单调递增；在区间内，导函数单调递减．所以函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，且f(x)的图象在区间内越来越陡峭，在区间内越来越平缓，由此可知，只有D符合．
5．(多选)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中，具有M性质的函数为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
答案　AD
解析　对于A，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝x为实数集上的增函数；对于B，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝x为实数集上的减函数；对于C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2·(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，当x>－3时，g′(x)>0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先单调递减后单调递增；对于D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选AD．
二、填空题
6．函数f(x)＝的单调递增区间为________.
答案　(0，e)
解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.因为当00，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)．
7．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________.
答案　(0，＋∞)
解析　y′＝－x2＋a，若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则方程－x2＋a＝0应有两个不相等的实根，故a的取值范围是(0，＋∞)．
8．函数f(x)＝的单调递增区间是________，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是________.
答案　(0,1)　y＝1
解析　因为函数f(x)＝，x>0，f′(x)＝－，显然当00，所以函数f(x)＝的单调递增区间是(0,1)．因为f′(1)＝0，所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是y＝1.
三、解答题
9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
解　f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
函数f(x)在上存在单调递增区间，即在上导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－.所以a的取值范围是.
10．已知a是实数，函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a.
(1)若f′(－1)＝0，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的，求实数a的取值范围．
解　(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0，得a＝.
(2)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线．
因为f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是递增的，
所以方程3x2－2ax－4＝0的两解必在[－2,2]内，
故f′(－2)≥0，且f′(2)≥0.
即所以－2≤a≤2，
所以实数a的取值范围为[－2,2]．
B级：“四能”提升训练
1．当x>0时，证明：不等式ln (x＋1)>x－x2.
证明　设f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝x－x2，
F(x)＝f(x)－g(x)，
则F(x)＝ln (x＋1)－x＋x2.
函数F(x)的定义域为(－1，＋∞)，
F′(x)＝－1＋x＝.
当x>0时，F′(x)>0恒成立，
所以函数F(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，
故当x>0时，F(x)>F(0)＝0，从而f(x)>g(x)，
即ln (x＋1)>x－x2.
2．已知函数f(x)＝ln x＋ax＋－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，
此时f′(x)＝＋1－，f′(2)＝＋1－＝1.
又因为f(2)＝ln 2＋2＋－1＝ln 2＋2，
所以切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2，
整理得x－y＋ln 2＝0.
(2)f′(x)＝＋a－＝
＝.
当a＝0时，f′(x)＝.
此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
当a＝－时，f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－ －>1，此时在(0,1)和上，
f′(x)<0，f(x)单调递减；
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当－ 当a＝－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．