数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀课件ppt，共16页。PPT课件主要包含了复习函数的极值，1求函数定义域，5写结论等内容，欢迎下载使用。

一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;并把x0称为函数f(x)的一个极大值点; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
当函数f(x)在x0处连续可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
如果在x0附近的左侧f '(x)>0右侧f '(x)<0那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f '(x)<0右侧f '(x)>0那么,f(x0)是极小值.
求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(2).求导数f '(x)
(3).求方程f '(x)=0的根.
(4).列表检查f '(x) 在方程根左右的值的符号,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值.
例1:已知函数f(x)=－x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为－1, 求a、b的值. (2)若x∈[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k, 试讨论k≥－1成立的充要条件 .
由于当x<0时, f '(x)<0当x>0时, f '(x)>0.故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当x∈[0,1],时,-3x2+2ax≥-1恒成立, 即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切x∈[0,1]恒成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切x∈[0,1],恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
练1:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
(1)设a>0,列表如下:
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.
(2)设a<0,列表如下:
又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.
解: f '(x)=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
当a=-3,b=3时, , f '(x)＝3(x-1)2≥0,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.
当a=4,b=-11时, f '(x)＝3x2+8x-11= (3x+11)(x-1).
从而所求的解为a=4,b=-11.
令f '(x)=0,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a2>0,
故f '(x)=0有不相等的两实根α、β,设α<β.
又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a<0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.
注意到f '(x)与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,β为极大值点.
两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:
从而方程f '(x)=0可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即α=-1,β=1.
故所求的值为a=2,b=0.
思考：已知函数 在 处取得极值。（1）求函数f(x)的解析式（2）求函数f(x) 的单调区间
函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，则a，b的值为（ ）A、 a=3,b=-3或a=-4,b=11 B、a=-4,b=1或a=-4,b=11C、 a=-4,b=11 D、 以上都不对
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
注意代入检验
练习：函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+a在x=1处有极值7,则a=( ) A.-3或3 B.3或-9 C.3 D.-3
(2009·陕西文，20)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[分析]　本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力．
[解析]　(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时,对x∈R,有f ′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞,＋∞)．
∴f(x)＝x3－3x－1，f ′(x)＝3x2－3，由f ′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(－3,1)．
当x∈(0,x1)时,f '(x)<0;当x∈(x1,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在区间(0,x1)上单调递减，在区间(x1,+∞)上单调递增;
易知x1, x2分别是f(x)的极小值点和极大值点.